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深圳网络公司做网站_sem是什么意思?_外链购买交易平台_备案查询网

时间:2025/7/12 1:40:41来源:https://blog.csdn.net/Shockang/article/details/145815563 浏览次数:0次
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前言

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正文

一、定义与公式

链式法则(Chain Rule)是计算复合函数导数的核心规则:

  • 数学表述 y = f ( u ) y = f(u) y=f(u),其中 u = g ( x ) u = g(x) u=g(x),则复合函数 y = f ( g ( x ) ) y = f(g(x)) y=f(g(x)) 的导数为:
    d y d x = d y d u ⋅ d u d x \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} dxdy=dudydxdu
  • 物理意义:描述“函数嵌套”时的变化率传递。外部函数对中间变量的导数( d y d u \frac{dy}{du} dudy),与中间变量对自变量的导数( d u d x \frac{du}{dx} dxdu)相乘。

二、核心作用

  1. 分解复杂函数
    将多层嵌套函数(如 sin ⁡ ( e 2 x ) \sin(e^{2x}) sin(e2x))分解为简单函数的导数乘积,避免直接计算整体极限。
  2. 兼容其他求导法则
    常与乘积法则(如3 e 2 x ⋅ sin ⁡ x e^{2x} \cdot \sin x e2xsinx 的导数:
    • 先用链式法则求 e 2 x e^{2x} e2x 的导数(外层函数 e u e^u eu,内层 u = 2 x u=2x u=2x,导数 2 e 2 x 2e^{2x} 2e2x),
    • 再用乘积法则组合结果 2 e 2 x sin ⁡ x + e 2 x cos ⁡ x 2e^{2x}\sin x + e^{2x}\cos x 2e2xsinx+e2xcosx

三、应用步骤

具体操作流程:

  1. 识别复合结构
    明确函数的内外层关系。例如函数 e 2 x e^{2x} e2x 中,外层是 e u e^u eu,内层是 u = 2 x u=2x u=2x
  2. 逐层求导
    • 先对外层函数求导: d y d u = e u = e 2 x \frac{dy}{du} = e^u = e^{2x} dudy=eu=e2x
    • 再对内层函数求导: d u d x = 2 \frac{du}{dx} = 2 dxdu=2
  3. 乘积合成结果
    d y d x = e 2 x ⋅ 2 = 2 e 2 x \frac{dy}{dx} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} dxdy=e2x2=2e2x

五、注意事项

  1. 可导性要求
    链条中的每一层函数需在对应点可导(如内层函数 u = 2 x u = 2x u=2x 需可导)。
  2. 嵌套扩展性
    支持多重复合(如 y = f ( g ( h ( x ) ) ) y = f(g(h(x))) y=f(g(h(x)))):
    d y d x = d f d g ⋅ d g d h ⋅ d h d x \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dh} \cdot \frac{dh}{dx} dxdy=dgdfdhdgdxdh

总结

链式法则的本质是传递变化率,适用于任何复合函数。其工程价值在于将复杂问题分解为局部可计算的部分(如深度学习中的反向传播算法即依赖链式法则),是导数工具链的核心组件之一。

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