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分析一个离散时间系统的可控性。首先，对于给定的连续系统，状态空间方程形式为：
$$\dot{x}=Ax+Bu$$
在离散化后，系统的状态方程会变为：

$$x_{k+1}=G{x}_k+H{u}_k$$

其中，离散化后的系统矩阵 $G$ 和 $H$可以通过如下方式获得（假设采样时间为 $T_s$）：

$$G=e^{A{T}_s},H=\left({\int }_0^{T_s}{e}^{A\tau }d\tau \right)B$$

可控性矩阵

离散系统的可控性由可控性矩阵$Q_{ck}$判断：

$$Q_{ck}=[H,GH,G^{2}H,\dots ,G^{n-1}H]$$

对于一个 ( n ) 维系统，如果可控性矩阵的秩等于 ( n )，则系统是完全可控的。

对于给定的系统：

• 矩阵$A$是：
  $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$
• 矩阵$B$是：
  $$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

步骤1：计算可控性矩阵

离散化后的系统中，我们要先计算 $H$、$G$，再构造可控性矩阵。

步骤2：可控性判断

对于系统$G$和$H$，通过计算可控性矩阵的秩来判断系统是否可控。如果可控性矩阵满秩，即$\text{rank}(Q_{ck})=3$，则系统是可控的。

MATLAB代码

syms s t T  
A = [1,1,0;1,1,0;0,0,0];
B = [1,0;0,1;0,1];% 计算离散化的 G 矩阵
G = expm(A*T);% 计算积分
integral_G = int(expm(A*t), t, 0, T);% 计算 H 矩阵
H = integral_G * B;% 构造可控性矩阵 Qck
Qck = [H, G*H, G*G*H];% 化简符号表达式
simplifiedExpr6 = simplify(Qck);rank(Qck)% 可以将T赋值为数值检查可控性
T_value = 1; % 采样时间
G_numeric = double(subs(G, T, T_value));
H_numeric = double(subs(H, T, T_value));% 构造可控性矩阵数值版
Qck_numeric = [H_numeric, G_numeric*H_numeric, G_numeric*G_numeric*H_numeric];
rank_Qck_numeric = rank(Qck_numeric);disp(['数值情况下，可控性矩阵秩为: ', num2str(rank_Qck_numeric)]);

1. 定义符号和系统矩阵

syms s t T  
A = [1,1,0;1,1,0;0,0,0];
B = [1,0;0,1;0,1];

2. 特征矩阵 ( p )

p = inv(s*eye(3) - A);

使用符号变量 $s$ 来计算矩阵$sI-A$的逆，得到了系统的传递函数。这一步是为了准备进行离散化，但在后续步骤中没有必要。可以用于验证采用预解矩阵法，求拉普拉斯反变换得到的$e^{At}$
可以删除，因为后面使用了矩阵指数法离散化。

3. 计算离散化矩阵$G=e^{AT}$

G = expm(A*T);
rank(G)

4. 计算积分 ${\int }_0^T{e}^{At}dt$

integral_G = int(expm(A*t), t, 0, T);

5. 离散化$B$矩阵$H={\int }_0^T{e}^{At}dt\cdot B$

H = integral_G * B;

这一步是根据积分结果计算离散化后的 ( B ) 矩阵。

6. 可控性矩阵 $Q_{ck}$

Qck = [H, G*H, G*G*H];

7. 化简符号表达式和求秩

simplifiedExpr6 = simplifyFraction(Qck);
rank(Qck)

改进后的代码：

syms s t T  
A = [1,1,0;1,1,0;0,0,0];
B = [1,0;0,1;0,1];% 计算离散化的 G 矩阵
G = expm(A*T);% 计算积分
integral_G = int(expm(A*t), t, 0, T);% 计算 H 矩阵
H = integral_G * B;% 构造可控性矩阵 Qck
Qck = [H, G*H, G*G*H];% 化简符号表达式
simplifiedExpr6 = simplify(Qck);
rank(Qck)% 可以将T赋值为数值检查可控性
T_value = 1; % 采样时间
G_numeric = double(subs(G, T, T_value));
H_numeric = double(subs(H, T, T_value));% 构造可控性矩阵数值版
Qck_numeric = [H_numeric, G_numeric*H_numeric, G_numeric*G_numeric*H_numeric];
rank_Qck_numeric = rank(Qck_numeric);disp(['数值情况下，可控性矩阵秩为: ', num2str(rank_Qck_numeric)]);

结果

$$G=\left(\begin{array}{ccc}\frac{{\mathrm{e}}^{2T}}{2}+\frac{1}{2}& \frac{{\mathrm{e}}^{2T}}{2}-\frac{1}{2}& 0\\ \frac{{\mathrm{e}}^{2T}}{2}-\frac{1}{2}& \frac{{\mathrm{e}}^{2T}}{2}+\frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$$H=\left(\begin{array}{cc}\frac{T}{2}+\frac{{\mathrm{e}}^{2T}}{4}-\frac{1}{4}& \frac{{\mathrm{e}}^{2T}}{4}-\frac{T}{2}-\frac{1}{4}\\ \frac{{\mathrm{e}}^{2T}}{4}-\frac{T}{2}-\frac{1}{4}& \frac{T}{2}+\frac{{\mathrm{e}}^{2T}}{4}-\frac{1}{4}\\ 0& T\end{array}\right)$$
$$Q_{ck}=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{T}{2}+\frac{e^{2T}}{4}-\frac{1}{4}& \frac{e^{2T}}{4}-\frac{T}{2}-\frac{1}{4}& \frac{T}{2}-\frac{e^{2T}}{4}+\frac{e^{4T}}{4}& \frac{e^{4T}}{4}-\frac{e^{2T}}{4}-\frac{T}{2}& \frac{T}{2}-\frac{e^{4T}}{4}+\frac{e^{6T}}{4}& \frac{e^{6T}}{4}-\frac{e^{4T}}{4}-\frac{T}{2}\\ \frac{e^{2T}}{4}-\frac{T}{2}-\frac{1}{4}& \frac{T}{2}+\frac{e^{2T}}{4}-\frac{1}{4}& \frac{e^{4T}}{4}-\frac{e^{2T}}{4}-\frac{T}{2}& \frac{T}{2}-\frac{e^{2T}}{4}+\frac{e^{4T}}{4}& \frac{e^{6T}}{4}-\frac{e^{4T}}{4}-\frac{T}{2}& \frac{T}{2}-\frac{e^{4T}}{4}+\frac{e^{6T}}{4}\\ 0& T& 0& T& 0& T\end{array}\right)$$