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1. 强化学习的基本概念

PPO之前，先解释一些强化学习的基本概念。如果熟悉的话直接过。

状态（State, $s$）
状态是环境的当前情况。比如，如果你在玩一个游戏，状态可能是屏幕上的画面、角色的位置、速度等。

动作（Action, $a$）
动作是你在某个状态下可以采取的行为。比如，在游戏中，动作可以是“向左移动”、“跳跃”等。

奖励（Reward, $r$）
奖励是环境对你的动作的反馈。比如，如果你在游戏中成功躲避了一个障碍物，你可能会得到一个正奖励（+1）；如果你撞到障碍物，可能会得到一个负奖励（-1）。

策略（Policy, $\pi$）
策略是一个函数，它告诉你在某个状态下应该选择什么动作。策略可以用一个概率分布来表示，比如在某个状态下，选择动作A的概率是0.7，选择动作B的概率是0.3。

策略通常用参数 $\theta$ 来表示，所以策略可以写成 ${\pi }_{\theta }(a|s)$，意思是在状态 $s$ 下，选择动作 $a$ 的概率，由策略参数 $\theta$ 决定。

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2. PPO算法的思想

PPO（Proximal Policy Optimization）是一种强化学习算法，它的核心思想是：每次更新策略时，不要让策略变化太大。如果策略变化太大，可能会导致学习不稳定，甚至让策略变得更差。

比如说训练一个小球走迷宫。如果每次更新策略时，小球都突然改变太多行为，它可能会完全迷失方向。为了避免这种情况，PPO通过限制策略更新的幅度，确保每次更新都是在原来动作的基础上只有一点点改变。

• 使用概率比率 $r_t(\theta )$ 来衡量新旧策略的变化。
• 使用剪辑函数 $\text{clip}$ 来限制策略变化的幅度。
• 使用优势函数 $A_t$ 来衡量动作的好坏。

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3. PPO公式

目标函数

$$L^{CLIP}(\theta )={\mathbb{E}}_t\left[\min \left(r_t(\theta )A_t,\text{clip}(r_t(\theta ),1-ϵ,1+ϵ)A_t\right)\right]$$

希望最大化策略更新带来的收益，同时限制策略变化的幅度。

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概率比率 $r_t(\theta )$

$$r_t(\theta )=\frac{{\pi }_{\theta }(a_t|s_t)}{{\pi }_{{\theta }_{\text{old}}}(a_t|s_t)}$$

这个比率表示：在状态 $s_t$ 下，新策略 ${\pi }_{\theta }$ 选择动作 $a_t$ 的概率，与旧策略 ${\pi }_{{\theta }_{\text{old}}}$ 选择动作 $a_t$ 的概率的比值。

• ${\pi }_{\theta }(a_t|s_t)$：新策略在状态 $s_t$ 下选择动作 $a_t$ 的概率。
• ${\pi }_{{\theta }_{\text{old}}}(a_t|s_t)$：旧策略在状态 $s_t$ 下选择动作 $a_t$ 的概率。

假设旧策略在某个状态下选择“左转”的概率是0.5，新策略选择“左转”的概率是0.6。那么比率 $r_t(\theta )$ 就是 $0.6/0.5=1.2$。所以新策略比旧策略更倾向于选择这个动作。

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优势函数 $A_t$

优势函数 $A_t$ 表示：在状态 $s_t$ 下，选择动作 $a_t$ 比随机选择一个动作能多获得多少奖励。

• 如果 $A_t>0$，说明选择这个动作比随机选择更好。
• 如果 $A_t<0$，说明选择这个动作比随机选择更差。

优势函数可以通过以下公式计算：
$$A_t=Q(s_t,a_t)-V(s_t)$$
其中：

• $Q(s_t,a_t)$：在状态 $s_t$ 下选择动作 $a_t$ 的预期总奖励。
• $V(s_t)$：在状态 $s_t$ 下随机选择动作的预期总奖励。

如果在某个状态下，选择“左转”能获得10分奖励，而随机选择动作的平均奖励是5分，那么优势函数 $A_t=10-5=5$。优势函数告诉我们，选择这个动作比随机选择更好。

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剪辑函数 $\text{clip}(r_t(\theta ),1-ϵ,1+ϵ)$

剪辑函数的作用是限制概率比率 $r_t(\theta )$ 的变化范围，防止策略更新过大。

• $ϵ$ 是一个小的正数，通常取0.1或0.2。
• $\text{clip}(r_t(\theta ),1-ϵ,1+ϵ)$ 表示将 $r_t(\theta )$ 限制在区间 $[1-ϵ,1+ϵ]$ 内。

如果 $ϵ=0.1$，那么 $r_t(\theta )$ 的最大值是 $1+0.1=1.1$，最小值是 $1-0.1=0.9$。如果 $r_t(\theta )=1.5$，剪辑后会变成1.1；如果 $r_t(\theta )=0.5$，剪辑后会变成0.9。剪辑函数确保新策略不会偏离旧策略太多。

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目标函数的含义

$$L^{CLIP}(\theta )={\mathbb{E}}_t\left[\min \left(r_t(\theta )A_t,\text{clip}(r_t(\theta ),1-ϵ,1+ϵ)A_t\right)\right]$$

这个公式的意思是：我们希望最大化策略更新带来的收益，但同时限制策略变化的幅度。

• $\min (r_t(\theta )A_t,\text{clip}(r_t(\theta ),1-ϵ,1+ϵ)A_t)$：取较小的值作为损失。
  • 如果 $r_t(\theta )A_t$ 大于 $\text{clip}(r_t(\theta ),1-ϵ,1+ϵ)A_t$，说明新策略变化太大，我们选择较小的值来限制变化。
  • 如果 $r_t(\theta )A_t$ 小于 $\text{clip}(r_t(\theta ),1-ϵ,1+ϵ)A_t$，说明新策略变化在允许范围内，我们直接使用 $r_t(\theta )A_t$。

举个例子：

• 假设 $r_t(\theta )=1.2$，$A_t=5$，$ϵ=0.1$。
  • $\text{clip}(1.2,0.9,1.1)=1.1$。
  • $\min (1.2\times 5,1.1\times 5)=\min (6,5.5)=5.5$。
• 这意味着，虽然新策略带来了更大的收益（6），但我们限制它为5.5，以防止策略变化过大。

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4. PPO优化过程

PPO的优化过程分为以下几个步骤：

1. 采样数据：从环境中采样一批数据，包括状态 $s_t$、动作 $a_t$、奖励 $r_t$ 等。

2. 计算优势函数 $A_t$：使用广义优势估计（GAE）或其他方法计算每个状态-动作对的优势函数。

3. 更新策略：计算概率比率 $r_t(\theta )$。使用剪辑函数 $\text{clip}$ 限制比率的变化范围。通过最大化目标函数 $L^{CLIP}(\theta )$ 来更新策略参数 $\theta$。