【数据结构初阶】二叉树与堆（一）

一、树的基础概念

1、节点与度数

节点分为叶节点与分支节点

• 度数：其子节点的个数
• 叶节点：无子节点，即节点度数为0
• 分支节点：度数不为0的节点

2、树的度与高度

• 树的度：节点中度数最大的度数为树的度
• 树的高度（深度）：树的最大层次
  

3、引入：数组下标为何从0开始

答：迫于无奈，方便计算。
已知：数组名=数组首元素的地址
且 a[i] = *( a+i )
若下标从1开始，那么首元素 = *（ a+1 ）该式显然不成立。

4、祖先节点

从我这个节点往上这条路径的节点均为我的祖先节点。

5、树是递归定义的

一个树可分为根和子树（度>=0）。

6、树与非树的区别

树：

1. 子树间不相交
2. 除根节点外，每个节点有且仅有一个母（父）节点

非树：子树间相交。

7、代码表示

存储方法：左孩子右兄弟模型（链表）

struct TreeNode
{int val;struct TreeNode* LeftChild;struct TreeNode* RightSister;
};

二、二叉树

1、定义：树的每个节点的度数最大为2
2、代码模型：左孩子右孩子（可参考左孩子右兄弟模型）

2.1、满二叉树

1、定义：每一层都是满的（2个节点），叶子只在最后一层。
2、第 k 层有 2^(k-1)个节点
总节点个数：2^k - 1

2.2、完全二叉树

1、定义：设二叉树的高度为k，其前k-1层都是满的，最后一层不满且从左到右必须是连续的。
2、满二叉树是特殊的完全二叉树。

2.3、完全二叉树的存储

物理结构：在内存中以数组的形式存储。

原理：在内存中存储以数组的形式，已知一个父节点，则它的后两个数据一定是它的子节点。

• 1、局限
  只适用于完全/满二叉树，对非完全也可以，但存在很大的空间浪费。

• 2、优点
  便于访问母（父）子关系
  已知父节点下标为 i
  则 左孩子下标为 2 * i+1， 右孩子下标为 2*i+2

  已知一个子节点的下标为 j
  1、j 为奇数时，为左孩子，父下标为 （j -1）/2
  2、j 为偶数时，为右孩子，父下标为 （j -2）/2
  但在C语言中，除后取整
  故可直接写为 （j -1）/2

三、堆

注：
1、堆是一个完全二叉树（可用数组存储）
2、C语言中的堆、栈是内存的划分，与数据结构中的堆（二叉树）、栈（后进先出）不一样

大堆：任何一个父节点都大于等于其子节点
小堆：任何一个父节点都小于等于其子节点

3、特点
可以直接得到极值。大堆：根是极大值，小堆：根是极小值。