考研数学精解【1】

函数

重要极限

在微积分领域中，存在多个重要极限，它们涵盖了基本极限、函数极限、积分极限等多个方面。以下是一些关键的重要极限及其含义和应用场景：

一、基本极限

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

• 含义：当$x$趋近于0时，$\frac{\sin x}{x}$的值趋近于1。
• 应用场景：这个极限在求解涉及三角函数的极限问题时非常有用，特别是在利用泰勒级数展开或洛必达法则时。

2. ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$

• 含义：当$x$趋近于无穷大时，${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$的值趋近于自然对数的底数$e$。
• 应用场景：这个极限在定义自然对数和指数函数，以及处理与这些函数相关的极限问题时至关重要。

二、函数极限

1. ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$（若$f(x)$在$x=a$处可导）

• 含义：这是导数的定义，表示函数在某一点的变化率。
• 应用场景：用于求解函数的导数，进而分析函数的单调性、极值点等性质。

2. 洛必达法则：如果${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}g(x)=0$或${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}g(x)=\pm \infty$，且$g^{\prime }(x)\ne 0$在$x=a$的一个去心邻域内，则${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$（在适当条件下）。

• 含义：提供了一种求解特定形式的不定式极限的方法。
• 应用场景：用于求解当分子和分母都趋近于0或无穷大时的极限问题。

三、积分极限

1. 积分中值定理：如果$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在至少一个$c\in (a,b)$，使得${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$。

• 含义：建立了积分与函数值之间的联系，即积分可以看作是函数在某一点处的值与区间长度的乘积。
• 应用场景：用于估计积分的值，以及证明与积分相关的不等式和等式。

2. 勒贝格积分中的极限定理：如果$f(x)$在闭区间$[a,b]$上可积，且$f_n(x)$是一系列在$[a,b]$上可积的函数，满足${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)=f(x)$（逐点收敛），则${\lim }_{n\to \infty }{\int }_a^b{f}_n(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$（在适当条件下）。

• 含义：建立了函数列的极限与积分极限之间的联系。
• 应用场景：用于求解涉及函数列积分极限的问题，特别是在分析、概率论和统计学中。

四、其他重要极限

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$

• 含义：当$x$趋近于0时，$\frac{e^x-1}{x}$的值趋近于1。
• 应用场景：这个极限在处理涉及指数函数的极限问题时非常有用。

2. ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^n}{e^x}=0$（对于任何正整数$n$）

• 含义：当$x$趋近于无穷大时，$\frac{x^n}{e^x}$的值趋近于0。
• 应用场景：这个极限在比较指数函数与多项式函数的增长速度时非常有用。

五、常见的重要极限：

1. 第一个重要极限（或称基本极限）：
   ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
   这个极限在三角函数和微积分的基本定理中起着关键作用。

2. 第二个重要极限（关于指数函数的极限）：
   ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$
   其中 $e$ 是自然对数的底数，约等于2.71828。这个极限在定义 $e$ 和处理与指数函数相关的问题时非常重要。

3. 关于 $e^x$ 和 $\ln (x)$ 的极限：

   • ${\lim }_{x\to \infty }\frac{e^x}{x^n}=\infty$（对于任何正整数 $n$）
   • ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^n\ln x=0$（对于任何正整数 $n$）
     这些极限在处理涉及指数函数和对数函数的渐近行为时很有用。

4. 无穷小量与无穷大量的极限：

   • ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x^n}=\infty$（对于任何正整数 $n$）
   • ${\lim }_{x\to \infty }{x}^n=\infty$（对于任何正整数 $n$）
     这些极限描述了当 $x$ 趋近于0或无穷大时，某些函数的极限行为。

5. 洛必达法则中的极限形式（虽然不是一个单独的“重要极限”，但在求解极限时非常有用）：
   如果 ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}g(x)=0$ 或 ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}g(x)=\pm \infty$，并且 $g^{\prime }(x)\ne 0$ 在 $x=a$ 的一个去心邻域内，则
   ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$
   （在适当条件下）

6. 斯托尔茨-切萨罗定理（关于数列的极限）：
   如果 { a n } \{a_n\} {an​} 和 { b n } \{b_n\} {bn​} 是两个实数数列，且 { b n } \{b_n\} {bn​} 是严格递增且趋于正无穷的，那么如果极限 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$ 存在，则 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}$ 也存在且相等。

函数

函数的定义

函数是一种特殊的对应关系，它按照某种规则将一个数集（称为定义域）中的每一个元素映射到另一个数集（称为值域）中的唯一元素。具体来说，如果存在两个非空实数集合$D$和$M$，对于集合$D$中的任意元素$x$，通过某种对应法则$f$，集合$M$中都有唯一确定的元素$y$与之对应，那么称这种对应为从集合$D$到集合$M$的函数，记作：

$$y=f(x),x\in D$$

其中，$x$是自变量，$y$是因变量，$D$是函数的定义域，$M$是函数的值域（或称为取值范围），而$f$则是对应法则。

函数的性质

函数具有多种性质，这些性质有助于我们更深入地理解和分析函数：

1. 有界性：如果函数在某个区间上的值域是有限区间，则称该函数在该区间上是有界的。
2. 单调性：如果函数在某个区间上单调增加或单调减少，则称该函数在该区间上是单调的。
3. 奇偶性：如果函数满足$f(-x)=f(x)$，则称该函数为偶函数；如果满足$f(-x)=-f(x)$，则称该函数为奇函数。
4. 周期性：如果存在一个正数$T$，使得对于所有$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则称该函数是周期函数，$T$是函数的周期。
5. 连续性：如果函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点是连续的。

函数与非函数的区别

函数与非函数（或称为非对应关系）之间的主要区别在于：

1. 映射的唯一性：函数要求定义域中的每一个元素都唯一对应值域中的一个元素。而非函数则没有这种唯一性要求，可能存在一对多或多对一的情况。
2. 对应法则的明确性：函数有明确的对应法则$f$，它规定了如何从定义域映射到值域。非函数则可能没有明确的对应法则，或者对应法则不唯一。
3. 数学表示的差异：函数通常用解析式、图表或表格等方式来表示，这些表示方式都体现了函数的映射关系。非函数则可能无法用这些方式来表示，或者表示方式不唯一且不明确。

综上所述，函数是一种具有明确对应法则和映射唯一性的数学关系，它允许我们通过自变量来预测和计算因变量的值。而非函数则没有这些特性，它们可能表示的是更复杂或更不明确的对应关系。

函数不一定是双射

双射（或称为一一映射）是一种特殊的映射，它要求映射的双方集合中的元素都是一一对应的，即既是单射又是满射。

• 单射：对于映射的定义域中的任意两个不同元素，它们的像也是不同的。
• 满射：映射的值域中的每一个元素都是定义域中某个元素的像。

函数只要求定义域中的每一个元素都对应值域中的一个唯一元素，但并不要求这种对应是双向的。也就是说，函数可以是单射（但不是满射），也可以是满射（但不是单射），或者既不是单射也不是满射。

因此，函数和双射是两个不同的概念。函数是一种更广泛的映射关系，而双射则是函数中的一种特殊性质。在数学中，我们经常会遇到各种类型的函数，包括但不限于双射函数，它们在不同的领域和应用中发挥着重要的作用。

函数是一种特殊的映射

具体地说，它是一种按照某种规则将一个数集（称为定义域）中的每一个元素映射到另一个数集（称为值域）中的唯一元素的对应关系。这种映射关系具有明确性、唯一性和可计算性等特点。

在函数中，每一个自变量的值都对应一个唯一的函数值，这种对应关系是由函数的定义域、值域和对应法则共同确定的。因此，函数可以被看作是一种具有特定性质的映射，它允许我们通过自变量来预测和计算因变量的值。

需要注意的是，映射是一个更广泛的概念，它包括了函数在内的各种对应关系。而函数则是映射中一种具有特殊性质的对应关系，它在数学和实际应用中都具有重要的地位和作用。

参考文献

1. 《李永乐考研数学系列》
2. 文心一言