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插值法

插值方法简介

插值法是根据一组数据点$（x_0,y_0）,（x_1,y_1）,\dots ,（x_n,y_n）$建立一个便于计算的初等函数或曲线 y = f(x)，使它通过这些给定的数据点:
$f(x_0)=y_0，f(x_1)=y_1，\dots ，f(x_n)=y_n$
用这种方法所得的近似公式叫插值公式，已知的数据点叫节点。

一维插值方法

拉格朗日多项式插值

拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。
从理论和计算角度看，多项式是最简单的函数之一。
已知函数f (x)在互不相同的n+1个点$x_0,x_1,\dots ,x_n$处的函数值为 $y_0,y_1,\dots ,y_n$ 求n次多项式函数Ln(x)，使其满足：

其中$L_n(x)$ 称为f(x)的插值函数，也称为n次拉格朗日插值多项式。

拉格朗日插值公式：


其中$l_k^{(n)}$是拉格朗日插值基函数

n=1时：


龙格现象
在用插值方法进行函数近似时，当使用高次插值多项式逼近复杂函数时，插值函数在边界处出现剧烈震荡的现象。这种现象主要是由于在边界处使用高次多项式时，插值函数在边界处的震荡效应导致的。

因此高阶多项式并不是最好的选择

拉格朗日插值法的优缺点

分段线性插值

由于高次插值多项式存在的振荡缺陷和计算复杂度高等缺点，促使人们转而寻求简单的分段低次多形式插值。
分段低次插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上做满足一定条件的低次插值。
简单的说，将每两个相邻节点用直线连接起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。插值函数在$[x_{i-1},x_i]$上的表达式为：


用分段线性插值计算时，只用到x左右两个节点，计算量与节点个数无关。但是n越大，分段越多，插值误差越小。

分段线性插值法的优缺点

三次样条插值

分段插值虽然计算简单，但是光滑性较差。
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。
三次样条插值就是一个很好的例子

三次样条函数 记为S(x)，它是定义在区间[a, b]上的函数，满足以下两个条件：

1. S(x) 在每一个小区间$[x_{i-1},x_i]$上是一个三次多项式函数；
2. 在整个区间[a, b]上，其二阶导数存在且连续。 即在每个节点处的二阶导数连续.

三次样条函数求解

参数：每个小段上4个，n个小段共计4n个。
方程：

1. 每个小段上由给定函数值得到2个，n个小段共计2n个
2. 光滑性要求每一个内部节点的一阶二阶导数连续，得出其左右导数相等。因此，每个节点产生2个方程，共记2n-2个

现在得到了4n-2个方程，还差两个。为此，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，这就是所谓的边界条件。这里需要两个边界条件，正好左右两个端点各一个。

有三种边界条件，这样子就一共有4n个方程了。
常用的有自然边界条件$M_0=M_n=0$

应用

应用1：神经网络激活函数

应用2：色调映射

应用3：色彩增强

二维插值方法

二维插值是一种通过已知的离散点数据，在二维平面上推算出其他位置的数值的方法。常见的二维插值情况有节点均匀和节点不均匀两种。

节点均匀（网格）

已知$z=f(x,y)$在一些点取值，节点分布很均匀，落在由一系列平行直线组成的矩形网络的各个顶点上

节点不均匀（散点）

节点分布散乱