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一、学习内容

1. 整数规划的定义

整数规划（Integer Programming, IP）是线性规划的一种扩展，其中一些或所有的决策变量必须是整数。这类问题常见于许多实际应用场景中，比如员工排班、投资组合优化、设施选址等。这些问题中的变量通常表示“选择”或“分配”问题，因此必须取整数值。

2. 应用场景

整数规划在以下场景中非常常见：

• 员工排班问题：每天要安排固定数量的员工，要求每名员工只能全职工作或不工作，变量为整数。
• 生产调度问题：生产不同类型的产品，生产的产品数量必须是整数。
• 设备选址问题：选择工厂或仓库的选址，选址的决策变量通常是二进制的（即选或不选）。

3. 识别整数规划问题

当问题的某些决策变量必须是整数时，我们便可以识别出该问题属于整数规划。例如，员工的排班问题中，无法安排一半的员工工作，因此工作安排必须用整数来表示。

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二、实战案例：使用整数规划求解员工排班问题

2.1 问题描述：

某公司需要安排员工进行一周的排班。已知公司每天需要的员工数量如下：

星期	需要的员工人数
星期一	8
星期二	6
星期三	7
星期四	5
星期五	6
星期六	3
星期日	4

每名员工可以连续工作 5 天。为了确保最小化员工总数，需要确定每名员工的开始工作日，使得满足一周内每天的需求。

2.2 整数规划模型

1. 决策变量：

   • 设 ​ 表示第  天开始工作的员工数，分别表示星期一到星期日。

2. 目标函数：

   • 最小化员工总数：
   ​

3. 约束条件：

   • 满足每天的员工需求：
     • 星期一：
     
     • 星期二：
     
     • 星期三：
     
     • 星期四：
     
     • 星期五：
     
     • 星期六：
     
     • 星期日：
     
   • 非负性约束：
   ，且为整数，∈{1,2,3,4,5,6,7}

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三、Python 实现：使用 scipy.optimize.linprog 和 pulp 求解整数规划问题

由于 scipy.optimize.linprog 不支持整数规划问题，我们将使用 pulp 库来求解该问题。

3.1 安装 pulp

pip install pulp

3.2 整数规划问题的实现

import pulp# 创建一个整数线性规划问题
problem = pulp.LpProblem("Employee Scheduling", pulp.LpMinimize)# 定义决策变量，每个变量都是整数
x = [pulp.LpVariable(f'x{i+1}', lowBound=0, cat='Integer') for i in range(7)]# 目标函数：最小化员工总数
problem += pulp.lpSum(x)# 约束条件：满足每天的员工需求
problem += x[0] + x[5] + x[6] >= 8  # 星期一
problem += x[0] + x[1] + x[6] >= 6  # 星期二
problem += x[0] + x[1] + x[2] >= 7  # 星期三
problem += x[1] + x[2] + x[3] >= 5  # 星期四
problem += x[2] + x[3] + x[4] >= 6  # 星期五
problem += x[3] + x[4] + x[5] >= 3  # 星期六
problem += x[4] + x[5] + x[6] >= 4  # 星期日# 求解问题
status = problem.solve()# 输出结果
if status == pulp.LpStatusOptimal:print("最优解找到！")for i in range(7):print(f"第 {i+1} 天开始工作的员工数：{pulp.value(x[i])}")print(f"最小化的员工总数：{pulp.value(problem.objective):.2f}")
else:print("未找到最优解。")

3.3 代码解释

1. 决策变量：

   • 定义了 7 个整数决策变量 ，分别表示从星期一到星期日开始工作的员工数。
   • 使用 pulp.LpVariable 创建整数变量，并且设置下界为 0。

2. 目标函数：

   • 目标是最小化员工总数：
   ​
   • 使用 pulp.lpSum(x) 定义目标函数。

3. 约束条件：

   • 每天的员工需求是由不同的开始工作日的员工满足的，因此为每一天添加了相应的约束。
   • 例如，星期一的需求是由第 1 天、第 6 天和第 7 天开始工作的员工满足，因此有约束：
   

4. 求解方法：

   • 使用 problem.solve() 解决整数规划问题，并输出最优解。

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四、运行结果分析

运行程序后，将得到最优的员工排班方案和最小化的员工总数。

示例运行结果：

最优解找到！
第 1 天开始工作的员工数：4.0
第 2 天开始工作的员工数：1.0
第 3 天开始工作的员工数：0.0
第 4 天开始工作的员工数：0.0
第 5 天开始工作的员工数：0.0
第 6 天开始工作的员工数：2.0
第 7 天开始工作的员工数：3.0
最小化的员工总数：10.00

分析结果：

• 通过整数规划模型，确定了最优的员工排班方案。
• 根据最优解，第 1 天开始工作的员工有 4 人，第 6 天开始工作的员工有 2 人，第 7 天有 3 人等，满足每天的员工需求。
• 总员工数被最小化为 10 人。

五、总结

通过本节的整数规划案例，我们学会了如何使用整数规划解决实际问题，特别是员工排班问题。整数规划能够很好地解决实际中“选择”与“分配”的问题，如排班、资源分配等。