考试要求
1、理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.
4、理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一菜布尼茨公式.
5、了解反常积分的概念，会计算反常积分.
6、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.
基本方法
微元法 设所求的量 F F F依赖于某区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]以及在此区间上定义的某函数 f ( x ) f(x) f(x)，且满足：
1、当 f ( x ) f(x) f(x)为常数 C C C是， F = C ⋅ ( b − a ) F=C\cdot(b-a) F=C⋅(b−a);
2、当将区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]分为一些 △ x \triangle x △x之和时，量 F F F也被分割为相应的一些 △ F \triangle F △F之和，即 F F F具有可加性。
将 f ( x ) f(x) f(x)在小区间 [ x , x + △ x ] [x,x+\triangle x] [x,x+△x]上视为常量，于是 △ F ≈ f ( x ) △ x (1) \triangle F \approx f(x)\triangle x \quad \quad \quad \tag{1} △F≈f(x)△x(1)
近似严格说是： △ F = f ( x ) △ x + o ( △ x ) (2) \triangle F = f(x)\triangle x+o(\triangle x)\quad \quad \quad \tag{2} △F=f(x)△x+o(△x)(2)
于是 d F = f ( x ) d x (3) d F = f(x)dx \tag{3} dF=f(x)dx(3) F = ∫ a b f ( x ) d x F=\int_a^b f(x)dx F=∫abf(x)dx
公式(1)或(2)常称为取微元，(3)称为 F F F的微元，取好微元，再自 a 到 b a到b a到b积分便得 F F F
重要几何公式与物理应用
平面图形面积
1、曲线 y = y 2 ( x ) 与 y = y 1 ( x ) ( y 2 ( x ) ≥ y 1 ( x ) ) 及 x = a , x = b 围成的平面图形的面积 y=y_2(x)与y=y_1(x)(y_2(x) \ge y_1(x))及x=a,x=b围成的平面图形的面积 y=y2(x)与y=y1(x)(y2(x)≥y1(x))及x=a,x=b围成的平面图形的面积： S = ∫ a b y 2 ( x ) − y 1 ( x ) d x S=\int_a^by_2(x)-y_1(x)dx S=∫aby2(x)−y1(x)dx
练习1：平面区域 D D D由曲线 y = x 2 及 x = y 2 y=x^2及x=y^2 y=x2及x=y2围成，求其面积 S S S
解： { y = x 2 x = y 2 解出两点 ( 0 , 0 ) 及 ( 1 , 1 ) 。故： S = ∫ 0 1 ( x − x 2 ) d x = 1 3 \begin{cases} y=x^2 \\ \quad \\ x=y^2\end{cases}解出两点(0,0)及(1,1)。故：\\ \quad \\ S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\frac{1}{3} ⎩ ⎨ ⎧y=x2x=y2解出两点(0,0)及(1,1)。故：S=∫01(x−x2)dx=31
2、曲线 x = x 2 ( y ) 与 x = x 1 ( y ) ( x 2 ( y ) ≥ x 1 ( y ) ) 及 y = c , y = d 围成的平面图形的面积 x=x_2(y)与x=x_1(y)(x_2(y) \ge x_1(y))及y=c,y=d围成的平面图形的面积 x=x2(y)与x=x1(y)(x2(y)≥x1(y))及y=c,y=d围成的平面图形的面积： S = ∫ c d x 2 ( y ) − x 1 ( y ) d y S=\int_c^dx_2(y)-x_1(y)dy S=∫cdx2(y)−x1(y)dy
3、极坐标曲线 r = r ( θ ) r=r(\theta) r=r(θ)介于两射线 θ = α 与 θ = β ( 0 < β − α ≤ 2 π ) \theta=\alpha与\theta=\beta(0<\beta-\alpha\le 2\pi) θ=α与θ=β(0<β−α≤2π)之间的曲边扇形的面积： S = 1 2 ∫ α β r 2 ( θ ) d θ S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta S=21∫αβr2(θ)dθ
练习1：求由极坐标方程给出的曲线 r 2 = 2 a 2 cos 2 θ r^2=2a^2\cos 2\theta r2=2a2cos2θ围成区域的面积
解： 极坐标方程由曲线 r = r ( θ ) ( α ≤ θ ≤ β ) 围成的区域面积 S 可以写成： S = 1 2 ∫ α β r 2 ( θ ) d θ 在本题中，区域图形为： S = 2 ∫ 0 π 4 2 a 2 cos 2 θ d θ = 2 a 2 sin 2 θ ∣ 0 π 4 = 2 a 2 极坐标方程由曲线r=r(\theta)( \alpha \le \theta \le \beta)围成的区域面积S可以写成：\\ \quad \\ S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\theta \\ \quad \\ 在本题中，区域图形为：\\ \quad \\ S=2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}2a^2\cos 2\theta d\theta=2a^2\sin 2\theta|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=2a^2 极坐标方程由曲线r=r(θ)(α≤θ≤β)围成的区域面积S可以写成：S=21∫αβr2(θ)dθ在本题中，区域图形为：S=2∫04π2a2cos2θdθ=2a2sin2θ∣04π=2a2
4、由参数方程 { x = x ( t ) y = y ( t ) , α ≤ t ≤ β \begin{cases} x=x(t) \\ \quad \\ y=y(t) \end{cases}, \alpha \le t \le \beta ⎩ ⎨ ⎧x=x(t)y=y(t),α≤t≤β所围成平面图形的面积为：
S = ∫ α β ∣ y ( t ) x ′ ( t ) ∣ d t 或 S = ∫ α β ∣ x ( t ) y ′ ( t ) ∣ d t S=\int_{\alpha}^{\beta}|y(t)x^{'}(t)|dt或S=\int_{\alpha}^{\beta}|x(t)y^{'}(t)|dt S=∫αβ∣y(t)x′(t)∣dt或S=∫αβ∣x(t)y′(t)∣dt
旋转体体积
1、曲线 y = y ( x ) 与 x = a , x = b , x y=y(x)与x=a,x=b,x y=y(x)与x=a,x=b,x轴围成的曲边梯形绕 x x x轴旋转一周所围成的旋转体体积 V = π ∫ a b y 2 ( x ) d x , a < b V=\pi\int_a^by^2(x)dx ,\quad a<b V=π∫aby2(x)dx,a<b
形绕 y y y轴旋转一周所围成的旋转体体积： V = 2 π ∫ a b x y ( x ) d x （ y ( x ) ≥ 0 , b ≥ a ≥ 0 ） V=2\pi\int_a^bxy(x)dx（y(x)\ge 0,b\ge a\ge 0） V=2π∫abxy(x)dx（y(x)≥0,b≥a≥0）
练习1：求旋转线 x = a ( t − sin t ) ， y = a ( 1 − cos t ) ， t ∈ [ 0 , 2 π ] x=a(t-\sin t)，y=a(1-\cos t)，t\in[0,2\pi] x=a(t−sint)，y=a(1−cost)，t∈[0,2π]绕x轴旋转所成旋转体体积
解： 由公式： V = π ∫ a b y 2 ( x ) d x 可知 V = π ∫ 0 2 π ( a ( 1 − cos t ) ) 2 ( a ( 1 − cos t ) ) d t = π a 2 ∫ 0 2 π ( 3 cos 2 t − 3 cos t − cos 3 t + 1 ) d t = π a 2 ∫ 0 2 π ( 3 1 + cos 2 t 2 − 3 cos t − ( cos t ( 1 − sin 2 t ) ) + 1 ) d t = π a 2 [ 3 t 2 + sin 2 t 4 − 3 sin t − sin t + sin 3 t 3 + t ] ∣ 0 2 π = π a 2 [ 3 π + 0 − 0 − 0 + 0 + 2 π ] = 5 π a 2 由公式：V=\pi\int_a^by^2(x)dx可知 \\ \quad \\ V=\pi\int_0^{2\pi}(a(1-\cos t))^2(a(1-\cos t))dt \\ \quad \\ =\pi a^2\int_0^{2\pi}(3\cos^2t-3\cos t-\cos^3 t+1)dt\\ \quad \\ =\pi a^2\int_0^{2\pi}(3\frac{1+\cos 2t}{2}-3\cos t-(\cos t(1-\sin^2 t)) +1) dt\\ \quad \\ =\pi a^2[\frac{3t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}-3\sin t-\sin t+\frac{\sin^3 t}{3}+t]|_0^{2\pi}\\ \quad \\ =\pi a^2[3\pi+0-0-0+0+2\pi]\\ \quad \\ =5\pi a^2 \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 由公式：V=π∫aby2(x)dx可知V=π∫02π(a(1−cost))2(a(1−cost))dt=πa2∫02π(3cos2t−3cost−cos3t+1)dt=πa2∫02π(321+cos2t−3cost−(cost(1−sin2t))+1)dt=πa2[23t+4sin2t−3sint−sint+3sin3t+t]∣02π=πa2[3π+0−0−0+0+2π]=5πa2
2、曲线 y = y 2 ( x ) y=y_2(x) y=y2(x)与 y = y 1 ( x ) ( y 2 ( x ) ≥ y 1 ( x ) ≥ 0 ) y=y_1(x)(y_2(x) \ge y_1(x) \ge 0) y=y1(x)(y2(x)≥y1(x)≥0)及 x = a , x = b x=a,x=b x=a,x=b围成的平面图形绕 x x x轴旋转一周所围成的旋转体体积 V = π ∫ a b y 2 2 ( x ) − y 1 2 ( x ) d x ( a < b ) V=\pi\int_a^by^2_2(x)-y^2_1(x)dx(a<b) V=π∫aby22(x)−y12(x)dx(a<b)
3、曲线 y = y 2 ( x ) y=y_2(x) y=y2(x)与 y = y 1 ( x ) ( y 2 ( x ) ≥ y 1 ( x ) ≥ 0 ) y=y_1(x)(y_2(x) \ge y_1(x) \ge 0) y=y1(x)(y2(x)≥y1(x)≥0)及 x = a , x = b x=a,x=b x=a,x=b围成的平面图形绕 y y y轴旋转一周所围成的旋转体体积 V = 2 π ∫ a b x ( y 2 ( x ) − y 1 ( x ) ) d x ( b ≥ a > 0 ) V=2\pi\int_a^bx(y_2(x)-y_1(x))dx(b\ge a>0) V=2π∫abx(y2(x)−y1(x))dx(b≥a>0)
函数的平均值
设 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x∈[a,b]，函数 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]的平均值为 f = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx f=b−a1∫abf(x)dx
在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上平行截面面积 S ( x ) S(x) S(x)为已知的立体体积
V = ∫ a b S ( x ) d x , a < b V=\int_a^bS(x)dx,a<b V=∫abS(x)dx,a<b
平面曲线的弧长
1、参数方程曲线 { x = x ( t ) y = y ( t ) ， α ≤ t ≤ β \begin{cases}x=x(t)\\ \quad \\ y=y(t)\end{cases}， \alpha \le t \le \beta ⎩ ⎨ ⎧x=x(t)y=y(t)，α≤t≤β的弧长(其中 x ′ ( t ) x^{'}(t) x′(t)与 y ′ ( t ) y^{'}(t) y′(t)均连续，且不同时为零) s = ∫ α β x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) d t s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}dt s=∫αβx′2(t)+y′2(t)dt
练习1：求曲线 { x = c 2 a cos 3 t y = c 2 b sin 3 t ， t ∈ [ 0 , 2 π ] \begin{cases}x=\frac{c^2}{a}\cos^3 t\\ \quad \\ y=\frac{c^2}{b}\sin^3 t\end{cases}， t\in[0,2\pi] ⎩ ⎨ ⎧x=ac2cos3ty=bc2sin3t，t∈[0,2π]的弧长，其中 a > b > 0 , c 2 = a 2 − b 2 a>b>0,c^2=a^2-b^2 a>b>0,c2=a2−b2
解： 由 s = ∫ α β ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t 得 = ∫ 0 2 π ( − 3 c 2 a sin t cos 2 t ) 2 + ( 3 c 2 b sin 2 t cos t ) 2 d t = 3 c 2 a b ∫ 0 2 π ( b 2 sin 2 t cos 4 t + a 2 sin 4 t cos 2 t d t = 3 c 2 a b ∫ 0 2 π ( b 2 sin 2 t cos 4 t + ( c 2 + b 2 ) sin 4 t cos 2 t d t = 3 c 2 a b ∫ 0 2 π b 2 + c 2 sin 2 t s i n t cos t d t = 6 c 2 a b ∫ 0 π 2 b 2 + c 2 sin 2 t d sin 2 t d t = 4 a b ( a 3 − b 3 ) 由s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(x^{'}(t))^2+(y^{'}(t))^2}dt得 \\ \quad \\=\int_0^{2\pi} \sqrt{(-3\frac{c^2}{a}\sin t\cos^2 t)^2+(3\frac{c^2}{b}\sin^2 t \cos t)^2}dt \\ \quad \\ =\frac{3c^2}{ab}\int_0^{2\pi} \sqrt{(b^2\sin^2 t\cos^4 t+a^2\sin^4 t \cos^2 t}dt \\ \quad \\=\frac{3c^2}{ab}\int_0^{2\pi} \sqrt{(b^2\sin^2 t\cos^4 t+(c^2+b^2)\sin^4 t \cos^2 t}dt \\ \quad \\=\frac{3c^2}{ab}\int_0^{2\pi} \sqrt{b^2+c^2\sin^2t }sin t\cos tdt \\ \quad \\=\frac{6c^2}{ab}\int_0^{\frac{\pi} {2}} \sqrt{b^2+c^2\sin^2t }d\sin^2 tdt \\ \quad \\ =\frac{4}{ab}(a^3-b^3) 由s=∫αβ(x′(t))2+(y′(t))2dt得=∫02π(−3ac2sintcos2t)2+(3bc2sin2tcost)2dt=ab3c2∫02π(b2sin2tcos4t+a2sin4tcos2tdt=ab3c2∫02π(b2sin2tcos4t+(c2+b2)sin4tcos2tdt=ab3c2∫02πb2+c2sin2tsintcostdt=ab6c2∫02πb2+c2sin2tdsin2tdt=ab4(a3−b3)
2、直角坐标 y = y ( x ) ， a ≤ x ≤ b y=y(x)，a\le x\le b y=y(x)，a≤x≤b的弧长(其中y^{'}(x)连续) s = ∫ a b 1 + y ′ 2 ( x ) d x s=\int_a^b \sqrt{1+y^{'2}(x)}dx s=∫ab1+y′2(x)dx
3、极坐标曲线 r = r ( θ ) ( α ≤ θ ≤ β ) r=r(\theta)(\alpha \le \theta \le \beta) r=r(θ)(α≤θ≤β)的弧长(其中 r ( θ ) , r ′ ( θ ) r(\theta),r^{'}(\theta) r(θ),r′(θ)连续，且不同时为零)： s = ∫ α β r 2 ( θ ) + r ′ 2 ( θ ) d θ s=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2(\theta)+r^{'2}(\theta)}d\theta s=∫αβr2(θ)+r′2(θ)dθ
旋转曲面面积
1、在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的弧段绕 x x x轴旋转一周所围成的旋转所成的旋转曲面面积 S = 2 π ∫ a b ∣ y ∣ 1 + f ′ 2 ( x ) d x , a < b S=2\pi\int_a^b|y|\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx,a<b S=2π∫ab∣y∣1+f′2(x)dx,a<b
2、参数方程曲线 { x = x ( t ) y = y ( t ) ， α ≤ t ≤ β \begin{cases}x=x(t)\\ \quad \\ y=y(t)\end{cases}， \alpha \le t \le \beta ⎩ ⎨ ⎧x=x(t)y=y(t)，α≤t≤β的弧长(其中 x ′ ( t ) x^{'}(t) x′(t)与 y ′ ( t ) y^{'}(t) y′(t)均连续，且不同时为零) S = 2 π ∫ α β ∣ y ( t ) ∣ x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) d t S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}|y(t)|\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}dt S=2π∫αβ∣y(t)∣x′2(t)+y′2(t)dt
3、极坐标曲线 r = r ( θ ) ( 0 ≤ α ≤ θ ≤ β ≤ π ) r=r(\theta)(0\le \alpha \le \theta \le \beta \le \pi) r=r(θ)(0≤α≤θ≤β≤π)的弧长(其中 r ( θ ) , r ′ ( θ ) r(\theta),r^{'}(\theta) r(θ),r′(θ)连续，且不同时为零)： S = 2 π ∫ α β r ( θ ) r 2 ( θ ) + r ′ 2 ( θ ) sin θ d θ S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}r(\theta)\sqrt{r^2(\theta)+r^{'2}(\theta)}\sin \theta d\theta S=2π∫αβr(θ)r2(θ)+r′2(θ)sinθdθ
练习1：求心形形 r = a ( 1 + cos θ ) ( a > 0 , θ ∈ [ 0 , 2 π ] ) r=a(1+\cos \theta)(a>0,\theta\in[0,2\pi]) r=a(1+cosθ)(a>0,θ∈[0,2π])绕 x x x轴旋转一周得到的旋转体表面积。
解： S = 2 π ∫ α β r ( θ ) r 2 ( θ ) + r ′ 2 ( θ ) sin θ d θ S = 2 π a ∫ 0 π ( 1 + cos θ ) ( a ( 1 + cos θ ) ) 2 + ( a ( 1 + cos θ ) ) ′ 2 sin θ d θ = 2 π a 2 2 ∫ 0 π ( 1 + cos θ ) 3 2 sin θ d θ = 2 π a 2 2 ∫ 0 π − 2 5 d ( ( 1 + cos θ ) 5 2 ) d θ = 2 2 π a 2 ∫ 0 π − 2 5 d ( ( 1 + cos θ ) 5 2 ) = − 4 5 2 π ( 1 + cos θ ) 5 2 a 2 ∣ 0 π = 32 a 2 π 5 S=2\pi\int_{\alpha}^{\beta}r(\theta)\sqrt{r^2(\theta)+r^{'2}(\theta)}\sin \theta d\theta \\ \quad \\ S=2\pi a\int_0^{\pi}(1+\cos \theta)\sqrt{(a(1+\cos \theta))^2+(a(1+\cos \theta))^{'2}}\sin \theta d\theta \\ \quad \\ =2\pi a^2\sqrt{2}\int_0^{\pi}(1+\cos \theta)^{\frac{3}{2}}\sin \theta d\theta \\ \quad \\ =2\pi a^2\sqrt{2}\int_0^{\pi}-\frac{2}{5} d((1+\cos \theta)^{\frac{5}{2}})d\theta\\ \quad \\ =2\sqrt{2}\pi a^2\int_0^{\pi}-\frac{2}{5} d((1+\cos \theta)^{\frac{5}{2}})\\ \quad \\ =-\frac{4}{5}\sqrt{2}\pi (1+\cos \theta)^{\frac{5}{2}}a^2|_0^{\pi}\\ \quad \\ =\frac{32a^2\pi}{5} S=2π∫αβr(θ)r2(θ)+r′2(θ)sinθdθS=2πa∫0π(1+cosθ)(a(1+cosθ))2+(a(1+cosθ))′2sinθdθ=2πa22∫0π(1+cosθ)23sinθdθ=2πa22∫0π−52d((1+cosθ)25)dθ=22πa2∫0π−52d((1+cosθ)25)=−542π(1+cosθ)25a2∣0π=532a2π
