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预测模型

预测模型是一种用于预测未来事件或未知数据的模型。它通过学习历史数据的规律，推断出未来的结果。

回归模型

回归模型是一种用于建模因变量（目标变量）与一个或多个自变量（特征变量）之间关系的统计模型。它通常用于预测连续值。

一元线性回归

回归模型

我有两个样本(1,2)和(2,3)，那么很明显，此时回归模型的k和d分别是1，1。
$$y=x+1$$
如果我现在增加了一个样本(3,6)，它并不满足$y=x+1$。那么此时，如何让模型能够预测样本4最可能出现的地方？
那么这个模型必须满足对之前3个样本的y轴上的距离之和最小。（这里可不是垂直于要求的直线方程，而是y轴上，因为y是你模型根据特征x所预测的值，y轴方向上越靠近，才是模型预测的越准确）

因为距离是个正数，所以可以用距离的平方来代替。假设每一个样本在模型中输入特征$x_i$，所得到的预测值）为$y_i$，那么我们要做的事情就是求一组k和d的值，能够使得所有样本的y轴距离（的平方）最小：
$$\arg \underset{k,d}{\min }\sum _{i=1}^m(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$
因为特征值$x_i$对于$y_i$和${\hat{y}}_i$是相同的，可以把${\hat{y}}_i=k{x}_i+d$代入，得到
$$\arg \underset{k,d}{\min }\sum _{i=1}^m(y_i-k{x}_i-d{)}^2$$

视最小化误差平方和为多元函数f(k,d)

（1）对$d$求偏导

设$f(k,d)={\sum }_{i=1}^m(y_i-k{x}_i-d{)}^2$,求d的偏导数,并且令导数是为0；
$$\frac{\partial f}{\partial d_0}=\sum _{i=1}^m(y_i-k{x}_i-d_0{)}^2=0$$
只有0的平方才是0，因此
$$\sum _{i=1}^{m}2（y_i-k{x}_i-d_0）=0$$
两遍同时除以数量m，得到平均数
$$\frac{{\sum }_{i=1}^m（y_i-k{x}_i-d_0)}{m}=0$$
$$\frac{{\sum }_{i=1}^m{y}_i-{\sum }_{i=1}^{m}k{x}_i-{\sum }_{i=1}^m{d}_0)}{m}=0$$
$$\frac{\overline{y}-\overline{x}k-m{d}_0}{m}=0$$
$$\overline{y}-\overline{x}k-d_0=0$$
$$d_0=\overline{y}-\overline{x}k$$

（2）对$k$求偏导

还是$f(k,d)={\sum }_{i=1}^m(y_i-k_0{x}_i-d_0{)}^2$=0，对$k_0$求偏导

先把误差平方和公式的平方展开
$$(y_i-k_0{x}_i-d_0{)}^2=(y_i-k_0{x}_i{)}^2-2(y_i-d_0)(k_0{x}_i)+(k_0{x}_i{)}^2$$
对每一项分别求导
$$\frac{\partial ((y_i-k_0{x}_i{)}^2)}{\partial k_0}=0$$
$$\frac{\partial ((-2(y_i-d_0)(k_0{x}_i))}{\partial k_0}=-2(y_i-d_0)(x_i)$$
$$\frac{\partial ((k_0{x}_i{)}^2)}{\partial k_0}=2k_0{x}_i^2$$
合并结果后得到
$$\frac{\partial f}{\partial k_0}=\sum _{i=1}^m(-2(y_i-d_0)(x_i)+2k_0{x}_i^2)$$
令偏导为0
$$\sum _{i=1}^m(-2(y_i-d_0)(x_i)+2k_0{x}_i^2)=0$$
两遍同时除以2
$$\sum _{i=1}^m(-(y_i-d_0)(x_i)+k_0{x}_i^2)=0$$

$$-\sum _{i=1}^m(y_i-d_0)(x_i)+\sum _{i=1}^m{k}_0{x}_i^2=0$$

$$\sum _{i=1}^m(y_i-d_0)(x_i)=\sum _{i=1}^m{k}_0{x}_i^2$$

带入$d_0=\overline{y}-\overline{x}{k}_0$

$$\sum _{i=1}^m(y_i-\overline{y}+\overline{x}{k}_0)(x_i)=\sum _{i=1}^m{k}_0{x}_i^2$$

展开括号
$$\sum _{i=1}^m(（y_i-\overline{y}）x_i)+\sum _{i=1}^m(（\overline{x}{k}_0）x_i)=\sum _{i=1}^m{k}_0{x}_i^2$$
把$k_0$放到一遍
$$\sum _{i=1}^m{k}_0{x}_i^2-\sum _{i=1}^m(（\overline{x}{k}_0）x_i)=\sum _{i=1}^m(（y_i-\overline{y}）x_i)$$
$$k_0\sum _{i=1}^m{x}_i^2-k_0\sum _{i=1}^m(（\overline{x}）x_i)=\sum _{i=1}^m(（y_i-\overline{y}）x_i)$$
$$k_0(\sum _{i=1}^m{x}_i^2-\overline{x}\sum _{i=1}^m{x}_i)=\sum _{i=1}^m(（y_i-\overline{y}）x_i)$$
$$k_0\sum _{i=1}^m(x_i^2-\overline{x}{x}_i)=\sum _{i=1}^m(（y_i-\overline{y}）x_i)$$
标记下面这一步的分母
$$k_0=\frac{{\sum }_{i=1}^m(（y_i-\overline{y}）x_i)}{{\sum }_{i=1}^m((x_i-\overline{x})x_i)}$$
$$k_0=\frac{{\sum }_{i=1}^m(（y_i-\overline{y}）x_i)}{{\sum }_{i=1}^m((x_i-\overline{x})(x_i-\overline{x}+\overline{x}))}$$
$$k_0=\frac{{\sum }_{i=1}^m((y_i-\overline{y})x_i)}{{\sum }_{i=1}^m((x_i-\overline{x})(x_i-\overline{x}+\overline{x}))}$$
$$k_0=\frac{{\sum }_{i=1}^m((y_i-\overline{y})x_i)}{{\sum }_{i=1}^m((x_i-\overline{x}{)}^2+\overline{x}(x_i-\overline{x}))}$$

$$k_0=\frac{{\sum }_{i=1}^m((y_i-\overline{y})x_i)}{{\sum }_{i=1}^m((x_i-\overline{x}{)}^2+{\sum }_{i=1}^m(x_i-\overline{x})\overline{x})}$$
$$k_0=\frac{{\sum }_{i=1}^m((y_i-\overline{y})x_i)}{{\sum }_{i=1}^m((x_i-\overline{x}{)}^2+\overline{x}{\sum }_{i=1}^m(x_i-\overline{x}))}$$
此时要看准分母中的${\sum }_{i=1}^m(x_i-\overline{x})$是必等于0的，因此
$$k_0=\frac{{\sum }_{i=1}^m((y_i-\overline{y})x_i)}{{\sum }_{i=1}^m(x_i-\overline{x}{)}^2}$$
在另外一个层面上，也就说明原来的分母式子${\sum }_{i=1}^m((x_i-\overline{x})x_i)$等于现在的分母式子${\sum }_{i=1}^m(x_i-\overline{x}{)}^2$，同理得出$x_i=(xi-\overline{x})$,将这个式子带入分子，得到
$$k_0=\frac{{\sum }_{i=1}^m((y_i-\overline{y})(xi-\overline{x}))}{{\sum }_{i=1}^m(x_i-\overline{x}{)}^2}$$
至此，推理完成。对于斜率k和截距b的回归模型总结如下，这个公式又叫“最小二乘法公式”：
$$k_0=\frac{{\sum }_{i=1}^m((y_i-\overline{y})(xi-\overline{x}))}{{\sum }_{i=1}^m(x_i-\overline{x}{)}^2}$$
$$d_0=\overline{y}-\overline{x}k$$
再解释一下就是伴随着新的样本增加进来，我们可以通过样本训练，反推出预测模型的最优参数k和b。仔细想想，之前有一些概率模型都是有自己特有的参数的，通过不断修改这些参数的值，可以使其预测更加准确。

虽然这个推理是挺简单的，但是我搞了两天的时间才推理出来。终于可以开香槟了