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一、算法概述

NDT（Normal Distributions Transform）最初用于2D激光雷达地图构建（Biber & Straßer, 2003），后扩展为3D点云配准。它将点云数据空间划分为网格单元（Voxel），在每个体素中拟合一个高斯分布，用此概率模型对点进行匹配优化。

与 ICP 不同，NDT 是一个概率模型配准算法，具有更强的鲁棒性，适合处理稀疏/局部不一致的点云。

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二、核心思想

• 目标点云（target map）中的每个体素内，使用包含的点拟合高斯分布。
• 源点云（source cloud）中的点通过变换 $(T)$ 后，落入目标空间中对应体素。
• 对每个变换后点 $(x)$，在该体素对应的高斯模型上计算似然概率。
• 使用最大似然估计或最小负对数似然，优化变换参数。

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三、数学建模与公式推导

1️高斯分布建模（每个体素）

每个体素 $(V_i)$ 中的点 ( { x j } ) ( \{x_j\} ) ({xj​}) 用一个多维高斯分布拟合：

$$[{\mu }_i=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{x}_j,{\Sigma }_i=\frac{1}{n-1}\sum _{j=1}^n(x_j-{\mu }_i)(x_j-{\mu }_i{)}^T]$$

其中：

• $({\mu }_i)$：均值向量
• $({\Sigma }_i)$：协方差矩阵

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2️目标函数构建（最大似然）

给定一个源点 $(p)$，变换后为 $(x=T(p))$，其在某个体素内，拟合的高斯分布概率密度为：
$$[P(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^{d/2}|\Sigma {|}^{1/2}}\exp \left(-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )\right)]$$
我们选择最大化所有点的概率密度（最大似然），等价于最小化负对数似然：
$$[\mathcal{E}(T)=\sum _{x\in T(P)}\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )]$$
（去掉常数项后的负对数似然）

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四、优化过程

我们要最小化目标函数 $(\mathcal{E}(T))$，对变换参数（旋转和平移）进行优化。

记：

• 源点 $(p)$
• 当前变换 $(x=T(p;\theta ))$
• $(\theta )$ 是 6 维参数向量（3 平移 + 3 欧拉角/李代数）

采用高斯牛顿法或牛顿法迭代优化：

梯度：

$$[\nabla \mathcal{E}=\sum _i{J}_i^T{\Sigma }_i^{-1}(x_i-{\mu }_i)]$$
其中 $(J_i=\frac{\partial x_i}{\partial \theta })$：变换后的点对参数的雅可比。

海塞矩阵（近似）：

$$[H=\sum _i{J}_i^T{\Sigma }_i^{-1}{J}_i]$$
然后迭代更新：
$$[{\theta }_{k+1}={\theta }_k-H^{-1}\nabla \mathcal{E}]$$
可使用李代数 $(\mathfrak{se}(3))$ 表达变换更稳定。

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五、变换模型：SE(3)

为了数值稳定和避免欧拉角奇异性，NDT 实际实现常用李代数参数化变换：
$$[T(\xi )=\exp ({\xi }^{\wedge })]$$
其中：

• $(\xi \in {\mathbb{R}}^6)$：李代数（3 旋转 + 3 平移）
• $({\xi }^{\wedge })$：向量到矩阵的帽运算
• $(\exp )$：李群指数映射

更新形式：
$$[{\xi }_{k+1}={\xi }_k-H^{-1}\nabla \mathcal{E}]$$
最终变换为 $(T=\exp ({\xi }^{\wedge }))$

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六、NDT vs ICP

对比项	NDT	ICP
模型方式	概率分布（高斯）	最近点对
优化目标	最大似然估计	点对距离最小
收敛半径	较大，鲁棒性强	对初始值敏感
可导性	连续、可微	需要最近邻离散搜索
实现复杂度	中高	低

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七、示意图（可视理解）

• 将目标点云转换为栅格地图（VoxelGrid）
• 每个体素内构建高斯模型
• 源点经过变换后投影到高斯模型空间，优化拟合度

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八、变体与优化

• 3D NDT（PCL 中的实现）
• NDT-OM（Occupancy Mapping）
• Fast NDT：稀疏点、高效矩阵更新
• Robust NDT：加入鲁棒核函数（Huber/Loss）

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九、PCL 中的 NDT 使用（C++）

#include <pcl/registration/ndt.h>
#include <pcl/io/pcd_io.h>
#include <pcl/point_types.h>int main() {pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr target (new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr source (new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);pcl::io::loadPCDFile("target.pcd", *target);pcl::io::loadPCDFile("source.pcd", *source);pcl::NormalDistributionsTransform<pcl::PointXYZ, pcl::PointXYZ> ndt;ndt.setTransformationEpsilon(0.01);ndt.setStepSize(0.1);ndt.setResolution(1.0);ndt.setMaximumIterations(35);ndt.setInputSource(source);ndt.setInputTarget(target);pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ> aligned;ndt.align(aligned);std::cout << "Has converged: " << ndt.hasConverged()<< " score: " << ndt.getFitnessScore() << std::endl;
}

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十、Open3D 中的 NDT 使用（Python）

import open3d as o3dsource = o3d.io.read_point_cloud("source.pcd")
target = o3d.io.read_point_cloud("target.pcd")trans_init = np.eye(4)
result = o3d.pipelines.registration.registration_ndt(source, target, max_distance=1.0, init=trans_init,criteria=o3d.pipelines.registration.RegistrationCriterion()
)print("Transformation:\n", result.transformation)

十一、 总结

NDT 利用了体素网格 + 高斯概率分布建模，使得点云配准具备以下优点：

• 对初始姿态误差鲁棒
• 可导目标函数，利于快速优化
• 支持稀疏点云、动态场景（配合滤波）