当前位置: 首页> 教育> 锐评 > 【数据结构】图论中求最短路径——迪杰斯特拉算法(Dijkstra)、弗洛伊德算法(Floyd)

【数据结构】图论中求最短路径——迪杰斯特拉算法(Dijkstra)、弗洛伊德算法(Floyd)

时间:2025/7/11 20:23:23来源:https://blog.csdn.net/ChenZHIHAO_y/article/details/139457230 浏览次数:0次

目录

  • 最短路径 (*)
    • 迪杰斯特拉算法(Dijkstra)
      • 迪杰斯特拉算法(Dijkstra)的算法原理:
    • 弗洛伊德算法(Floyd)
      • 弗洛伊德算法(Floyd)的算法原理:
      • 弗洛伊德算法的(c语言)完整实例:

最短路径 (*)

生活中最短路径问题例如:
交通网络:给定了该网内的n个城市以及这些市之间的相通公路的距离,能否找到城市A城市B之间一条最近的通路呢?

  1. 从A地到B地换车次数最少的路径
  2. 从A地到B地最短的路径(距离最短,行驶时间最短,费用最低)
  1. 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法–从一个源点到其它各点的最短路径
  2. 弗洛伊德(Floyd)算法–每一对顶点之间的最短路径
  3. Bellman-Ford算法

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)

该算法只适用于静态网络网络上边的权值不能为负数

基本思想:设集合S中存放已找到最短路径的顶点,集合 T = V − S T =V-S TVS存放当前还未找到最短路径的顶点。
1.初态: S中 只包含源点 v0v0到其余 各点的弧 为各点当前各点的“最短”路径。
2.从T中选取当前各点的“最短”路径长度中最短的顶点u加入到S中。
3.S加入新的顶点u后,考察顶点 v 0 v_0 v0T中剩余顶点的最短路径长度是否可以优化更新:T中各顶点新的最短路径长度值为原来的最短路径长度值、顶点u的最短路径长度值加上u到该顶点的路径长度值中的较小值。
4.重复2,3,直到T的顶点全部加入到S中、或源点到剩余顶点的路径都是为止。

在这里插入图片描述

一、图的存储:邻接矩阵和邻接表都可以

#define max 100
typedef struct {int arcs[max][max];int vexnum,arcnum;
}AGraphs;
Agraphs G;//定义图存储结构  邻接矩阵的存储形式

二、区分已经求出最短路径的点

方法一:设一个一维数组int final[max];
final[i]=1表示从源点到顶点i的最短路径已经求出,iS
final[i]=0表示从源点到顶点i的最短路径尚未求出,iV-S

方法二:利用邻接矩阵主对角线的位置G.arcs[i][i]表示i是否在S
G.arcs[i][i]=1表示从源点到顶点i的最短路径已经求出iS
G.arcs[i][i]=0表示从源点到顶点i的最短路径尚未求出iV-S

三、表示源点到顶点i最短路径

一维数组int D[max]表示最短路径的长度
D[i] :从源点到点 v i v_i vi的最短路径的长度
初态为:若从源点 到 v i v_i vi有弧,则D[i]为弧上的权值;否则置 D[i] ,即:D[i]=G.arcs[k][i]; //说明:k为源点

二维数组int P[max][max]表示最短路径包含的顶点

P[i][ ] :从源点到点 v i v_i vi的最短路径

P[i][j]=0 v j v_j vj不在从源点 到点 v i v_i vi的最短路径上

P[i][j]=1 v j v_j vj位于从源点 到点 v i v_i vi的最短路径上。

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)的算法原理:


void ShortestPath(AGraphs G,int k,int P[][], int D[]){ int i,w, j,min;for (i=0;i<G.vexnum; i ++){  final[i]=0; //初始化D[i]=G.arcs[k][i];//最短路径长度for(w=0;w<G.vexnum; w ++) P[i][w]=0;//初始化if (D[i]<INFINITY){ //短路径包含的顶点P[i][k]=1; P[i][i]=1; }}D[k]=0; //初始点final[k]=1;for(i=1; i<G.vexnum; i ++){  min=INFINITY;//初始化为 无穷大for (w=0;w<G.vexnum; w ++)if (!final[w]&&D[w]<min){//j=w; min=D[w];} if(min== INFINITY) //return;final[j]=1; //标记为选入for(w=0;w<G.vexnum; w ++)if(!final[w]&&(min+G.arcs[j][w]<D[w])){ D[w]=min+G.arcs[j][w];P[w]=P[j]; //??P[w][w]=1;  }}

弗洛伊德算法(Floyd)

在这里插入图片描述

图的存储:邻接矩阵和邻接表都可以

#define max 100
typedef struct {int arcs[max][max];int vexnum,arcnum;
}AGraphs;
Agraphs G;//定义图存储结构  邻接矩阵的存储形式

弗洛伊德算法(Floyd)的算法原理:

void s1(int D[][],int p[][][], Agraphs G){   int i,j,k;for(i=0;i<G. vexnum;i++) for(j=0;j<G. vexnum;j++){  D[i][j]=G.arcs[i][j];for(k=0;k<G.vnum;k++) p[i][j][k]=0; //初始化if(D[i][j]<INFINITY){ p[i][j][i]=1; //初始化p[i][j][j]=1; //初始化}}for (k=0;k<G. vexnum;k++) for (i=0;i<G. vexnum;i++)for(j=0;j<G vexnum;j++) if(D[i][k]+D[k][j]<D[i][j]){//是否K 加入能够减小路径长度D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];//如果可以 就加入for(w=0;w<G. vexnum;w++) p[i][j][w]=p[i][k][w]||p[k][j][w];//然后确定路径上的元素}
}

弗洛伊德算法的(c语言)完整实例:

//算法6.11 弗洛伊德算法#include  <iostream>
using  namespace  std;#define  MaxInt  32767       //表示极大值,即∞
#define  MVNum  100           //最大顶点数typedef  char  VerTexType;  //假设顶点的数据类型为字符型  
typedef  int  ArcType;   //假设边的权值类型为整型  int  Path[MVNum][MVNum];                                                //最短路径上顶点vj的前一顶点的序号
int  D[MVNum][MVNum];                                                //记录顶点vi和vj之间的最短路径长度//------------图的邻接矩阵---------------
typedef  struct{  VerTexType  vexs[MVNum];    //顶点表  ?ArcType  arcs[MVNum][MVNum];//邻接矩阵  int  vexnum,arcnum;         //图的当前点数和边数  
}AMGraph;int  LocateVex(AMGraph  G  ,  VerTexType  v){//确定点v在G中的位置for(int  i  =  0;  i  <  G.vexnum;  ++i)if(G.vexs[i]  ==  v)return  i;return  -1;
}//LocateVexvoid  CreateUDN(AMGraph  &G){  //采用邻接矩阵表示法,创建有向网G  int  i , j  , k;//cout  <<"请输入总顶点数,总边数,以空格隔开:";cin  >>  G.vexnum  >>  G.arcnum;                                                        //输入总顶点数,总边数//cout  <<  "输入点的名称,如a"  <<  endl;for(i  =  0;  i  <  G.vexnum;  ++i){      //cout  <<  "请输入第"  <<  (i+1)  <<  "个点的名称:";cin  >>  G.vexs[i];                                                                        //依次输入点的信息  }for(i  =  0;  i  <  G.vexnum;  ++i){                                                        //初始化邻接矩阵,边的权值均置为极大值MaxInt  for(j  =  0;  j  <  G.vexnum;  ++j){    if(j  !=  i)G.arcs[i][j]  =  MaxInt;    elseG.arcs[i][j]  =  0;}//for}//for  //初始化//cout  <<  "输入边依附的顶点及权值,如a  b  3"  <<  end;for(k  =  0;  k  <  G.arcnum;++k){                                                //构造邻接矩阵  VerTexType  v1  ,  v2;ArcType  w;//cout  <<  "请输入第"  <<  (k  +  1)  <<  "条边依附的顶点及权值:";cin  >>  v1  >>  v2  >>  w;                                                      //输入一条边依附的顶点及权值i  =  LocateVex(G,  v1);    j  =  LocateVex(G,  v2);        //确定v1和v2在G中的位置,即顶点数组的下标  G.arcs[i][j]  =  w;                                                                //边<v1,  v2>的权值置为w  }//for
}//CreateUDN  /*
【样例输入】4 5A B C D A B 2 A C 4B C 3B D 5C D 1A D【样例输出】5*/void  ShortestPath_Floyed(AMGraph  G){   int i, j, k;for( i=0;i<G.vexnum;i++ ){for( j=0;j<G.vexnum;j++ ){D[i][j] = G.arcs[i][j];	// 距离矩阵初始化Path[i][i] = i;		// 路径矩阵初始化if(G.arcs[i][j]!=MaxInt){Path[i][j]=i;}}}for( k=0;k<G.vexnum;k++ )     {for( i=0;i<G.vexnum;i++ ){for( j=0;j<G.vexnum;j++ ){if( D[i][k] + D[k][j] < D[i][j] ){D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];   // 动态更新距离矩阵Path[i][j] = Path[k][j];       // 动态更新路径矩阵}}}}//test   看每个矩阵的结果// 	printf("\nG.arc矩阵的结果如下:\n");// for( i=0;i<G.vexnum;i++ )     // 输出// {// 	for( j=0;j<G.vexnum;j++ )// 	{// 		printf("%d  ",G.arcs[i][j]);// 	}// 	printf("\n");// }// 	printf("\n距离矩阵的结果如下:\n");// for( i=0;i<G.vexnum;i++ )     // 输出// {// 	for( j=0;j<G.vexnum;j++ )// 	{// 		printf("%d  ",D[i][j]);// 	}// 	printf("\n");// }// printf("\n路径矩阵的结果如下:\n");// for( i=0;i<G.vexnum;i++ )     // 输出// {// 	for( j=0;j<G.vexnum;j++ )// 	{// 		printf("%d  ",Path[i][j]);// 	}// 	printf("\n");// }}void  DisplayPath(AMGraph  G  ,  int  begin  ,int  temp  ){//显示最短路径if(Path[begin][temp]  !=  -1){DisplayPath(G  ,  begin  ,Path[begin][temp]);cout  <<  G.vexs[Path[begin][temp]]  <<  "-->";}
}//DisplayPathint  main(){//cout  <<  "************算法6.11 弗洛伊德算法**************"  <<  endl  <<  endl;AMGraph  G;char  start  ,  destination;int  num_start  ,  num_destination;CreateUDN(G);//test//cout  <<  "有向网G创建完成!"  <<  endl;//test//需要完成的函数ShortestPath_Floyed(G);//需要完成的函数//test//cout  <<  "请依次输入路径的起点与终点的名称:";//testcin  >>  start  >>  destination;num_start  =  LocateVex(G  ,  start);num_destination  =  LocateVex(G  ,  destination);//DisplayPath(G  ,  num_start  ,  num_destination);//cout  <<  G.vexs[num_destination]  <<  endl;cout  <<  D[num_start][num_destination]  <<  endl;return  0;
}//main 
关键字:【数据结构】图论中求最短路径——迪杰斯特拉算法(Dijkstra)、弗洛伊德算法(Floyd)

版权声明:

本网仅为发布的内容提供存储空间,不对发表、转载的内容提供任何形式的保证。凡本网注明“来源:XXX网络”的作品,均转载自其它媒体,著作权归作者所有,商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

我们尊重并感谢每一位作者,均已注明文章来源和作者。如因作品内容、版权或其它问题,请及时与我们联系,联系邮箱:809451989@qq.com,投稿邮箱:809451989@qq.com

责任编辑: