AcWing 858. Prim算法求最小生成树

与Dijkstra算法不同，Prim算法的dist数组是表示dist【t】点t到集合最短距离，而Dijkstra算法是点t到点1的最短距离！

这段代码实现了普里姆（Prim）算法，用于计算加权无向图的最小生成树（MST）。下面是代码的详细解释：

1. 常量和全局变量：

   • const int N = 510：定义最大顶点数为510。
   • const int INF = 0x3f3f3f3f：定义无穷大的值，用于初始化距离数组和图的邻接矩阵。

2. 变量声明：

   • int n, m：分别表示图中顶点数和边数。
   • int g[N][N]：邻接矩阵，用于存储图的边的信息。
   • int dist[N]：用于存储当前顶点到生成树的距离。
   • bool st[N]：标记数组，用于标记顶点是否已经被加入生成树。

3. prim 函数：

   • memset(dist, 0x3f, sizeof dist)：初始化距离数组，将所有距离设置为无穷大。
   • int res = 0：用于存储最小生成树的总权重。
   • 外层循环：从0到n-1，每次循环选择一个顶点加入生成树。
     • int t = -1：用于存储当前未加入生成树的最近顶点。
     • 内层循环：遍历所有顶点，找到未加入生成树且距离最小的顶点。
     • if (i && dist[t] == INF) return INF：如果已经选择了一个顶点，且当前未加入生成树的最近顶点的距离仍然是无穷大，说明无法连接所有顶点，返回无穷大。
     • if (i) res += dist[t]：如果已经选择了至少一个顶点，将当前顶点到生成树的距离累加到结果中。
     • st[t] = true：标记当前顶点已加入生成树。
     • 内层循环：更新与当前顶点相邻的顶点到生成树的距离。
   • 返回最小生成树的总权重。

4. main 函数：

   • scanf("%d%d", &n, &m)：读取顶点数和边数。
   • memset(g, 0x3f, sizeof g)：初始化邻接矩阵，将所有边的权重设置为无穷大。
   • 循环读取每条边的信息，并更新邻接矩阵。
   • 调用 prim 函数计算最小生成树的权重。
   • 判断结果是否为无穷大，如果是，则输出 “impossible”，否则输出最小生成树的权重。

这段代码实现了普里姆算法的核心逻辑，通过贪心策略逐步构建最小生成树，并计算其总权重。

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];int prim()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);int res = 0;for (int i = 0; i < n; i ++ ){int t = -1;for (int j = 1; j <= n; j ++ )if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;if (i && dist[t] == INF) return INF;if (i) res += dist[t];st[t] = true;for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);}return res;
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);memset(g, 0x3f, sizeof g);while (m -- ){int a, b, c;scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);}int t = prim();if (t == INF) puts("impossible");else printf("%d\n", t);return 0;
}

Prim算法的应用

比如铺设公路，不同地点之间铺设公路使得总共铺设的公路总长最短！用料最少！Prim算法保证的是最小生成树各点之间边权和最小，但是无法保证最小生成树唯一，因为最小生成树可能不唯一！

Prim算法与Kruskal算法比较

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法和普里姆（Prim）算法都是图论中用于寻找最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）的算法。最小生成树是指在一个加权无向图中，包含图中所有顶点的树，且边的总权重最小。这两种算法在设计和实现上有所不同：

1. 算法思想：

   • 克鲁斯卡尔算法：是一种贪心算法，它按照边的权重从小到大的顺序选择边，每次选择不会与已选择的边形成环的最小权重边，直到选出 $V-1$ 条边（其中 $V$ 是顶点数）。
   • 普里姆算法：也是一种贪心算法，它从一个顶点开始，逐渐增加新的顶点和边到当前生成树中，每次增加的边是连接当前生成树和不在树中的顶点且权重最小的边。

2. 数据结构：

   • 克鲁斯卡尔算法：通常使用优先队列（最小堆）来存储边，并按照权重从小到大的顺序选择边。
   • 普里姆算法：通常使用优先队列来存储与生成树相邻的顶点，按照与生成树连接的边的权重从小到大的顺序选择顶点。

3. 适用场景：

   • 克鲁斯卡尔算法：适合边的数量远多于顶点数量的稀疏图，因为算法主要操作是对边进行排序。
   • 普里姆算法：适合顶点数量远多于边数量的密集图，因为算法主要操作是对顶点进行处理。

4. 时间复杂度：

   • 克鲁斯卡尔算法：时间复杂度为 $O(E\log E)$ 或 $O(E\log V)$，其中 $ E $ 是边的数量，排序边需要 $O(E\log E)$ 的时间，使用并查集检测环需要 $O(E\log V)$ 的时间。
   • 普里姆算法：时间复杂度为 $O(E\log V)$，因为每次从优先队列中取出最小元素需要 $O(\log V)$ 的时间。

5. 边和顶点的选择：

   • 克鲁斯卡尔算法：每次选择一条边，直到选出 $V-1$ 条边。
   • 普里姆算法：每次选择一个顶点，直到所有顶点都被选中。

6. 初始化：

   • 克鲁斯卡尔算法：不需要初始化，直接对所有边进行排序。
   • 普里姆算法：需要从某个顶点开始，初始化生成树，通常选择顶点集合中的第一个顶点。

7. 环的检测：

   • 克鲁斯卡尔算法：使用并查集数据结构来检测加入新边是否会形成环。
   • 普里姆算法：不需要检测环，因为每次都是向生成树中添加新的顶点。

总结来说，克鲁斯卡尔算法更适用于边多于顶点的稀疏图，而普里姆算法更适用于顶点多于边的密集图。选择哪种算法取决于具体问题的需求和图的特性。