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1 中文题目

给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求 不使用 乘法、除法和取余运算。

整数除法应该向零截断，也就是截去（truncate）其小数部分。例如，8.345 将被截断为 8 ，-2.7335 将被截断至 -2 。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的 商 。

注意：假设环境只能存储 32 位 有符号整数，其数值范围是 $[-2^{31},2^{31}-1]$ 。本题中，如果商 严格大于 $2^{31}-1$ ，则返回 $2^{31}-1$ ；如果商 严格小于 $-2^{31}$ ，则返回 $-2^{31}$ 。

示例：

输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = 3.33333.. ，向零截断后得到 3 。

输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = -2.33333.. ，向零截断后得到 -2 。

提示：

• $-2^{31}\le dividend,divisor\le 2^{31}-1$
• divisor != 0

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2 求解方法：位运算

2.1 方法思路

方法核心

• 使用位运算实现除法
• 通过倍增法快速逼近商

实现步骤

(1)符号处理：

• 使用异或确定结果符号
• 将被除数和除数转为正数处理

(2)快速逼近：

• 使用位运算倍增除数
• 通过减法求得商

(3)结果处理：

• 应用正确的符号
• 处理溢出情况

方法示例

输入：dividend = 10, divisor = 3过程演示：
1. 初始状态：dividend = 10, divisor = 3result = 02. 第一次循环：curr_divisor = 3multiple = 1位运算后：curr_divisor = 6, multiple = 2dividend = 10 - 6 = 4result = 23. 第二次循环：curr_divisor = 3multiple = 1dividend = 4 - 3 = 1result = 34. 结束循环：dividend < divisor返回：3

2.2 Python代码

class Solution:def divide(self, dividend: int, divisor: int) -> int:# 处理特殊情况INT_MIN, INT_MAX = -2**31, 2**31 - 1# 处理除数为0的情况if divisor == 0:return INT_MAX# 处理溢出情况if dividend == INT_MIN and divisor == -1:return INT_MAX# 记录结果的符号# 异或运算：相同为0，不同为1sign = -1 if (dividend > 0) ^ (divisor > 0) else 1# 将被除数和除数都转为正数dividend = abs(dividend)divisor = abs(divisor)# 结果result = 0# 使用位运算优化while dividend >= divisor:# 当前除数curr_divisor = divisor# 当前商（从1开始）multiple = 1# 快速逼近# dividend >= curr_divisor << 1 确保不会溢出while dividend >= (curr_divisor << 1) and (curr_divisor << 1) > 0:curr_divisor <<= 1  # 除数左移一位（乘2）multiple <<= 1      # 商左移一位（乘2）# 减去当前最大的可能值dividend -= curr_divisor# 添加到结果中result += multiple# 应用符号并处理溢出result = -result if sign == -1 else result# 确保结果在32位整数范围内if result > INT_MAX:return INT_MAXif result < INT_MIN:return INT_MINreturn result

2.3 复杂度分析

• 时间复杂度：O(log n)，n是被除数的大小
  • 每次循环被除数至少减半
• 空间复杂度：O(1)
  • 只使用常数级别的额外空间

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3 题目总结

题目难度：中等
数据类型：整数
应用算法：位运算