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数据结构与算法学习笔记----染色法判定二分图

@@ author: 明月清了个风
@@ first publish time: 2024.12.21

ps⭐️其实就是个DFS，注释很详细，可以看一下注释

二分图

二分图的特点是：图中的顶点集可以被分成两个不相交的子集，并且图中的每一条边都连接这两个子集中的一个顶点。换句话说，图的所有边都仅连接两个子集中的顶点，两个子集内部的顶点之间没有边，所有的边都用于连接分别在两个集合中的两点。

没有奇数环：一个图是二分图当且仅当图中不存在奇数环。

证明:

假设有一张图$G$中包含一个回路$C$，其长度为奇数，设其长度为$2k+1$，那么回路中有$2k+1$个顶点。

从任一节点为起点开始染色：第一个顶点染色为$1$，第二个顶点染色为$2$。。。。。，以此类推，直到回路的最后一个顶点。因为回路的长度为$2k+1$，所以经过$2k+1$步回到起点，最终起点会被重新染色为$2$，与开始时矛盾，因此一张图是二分图，不可能含有长度为奇数的回路。

染色法

所谓的染色法其实就是一个图的遍历问题，在遍历的过程中对每个顶点的颜色进行记录就可以了，需要注意的就是检查冲突。

这里我们使用的是DFS遍历，当然BFS也可以。

Acwing 860. 染色法判定二分图

[原题链接](860. 染色法判定二分图 - AcWing题库)

给定一个$n$个点$m$条边的有向图，图中可能存在重边和自环

请你判断这个图是否是二分图

输入格式

第一行包含三个整数$n$,$m$。

接下来$m$行，每行包含两个个整数$u$、$v$，表示存在一条从点$u$到点$v$的有向边

输出格式

如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围

$1\le n,m\le 10^5$,

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 100010, M = N * 2;int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;   // 根据数据范围可以看出是稀疏图，用邻接表存
int color[N];    // 用于记录每个点的染色状态void add(int a, int b)
{e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}bool dfs(int u, int c)
{color[u] = c;   // 将点染色为c，c的取值为1或2for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])  // 遍历该点所在的连通块{int j = e[i];if(!color[j])  // 连通的点没有染色就染色{if(!dfs(j, 3 - c)) return false;  // 染色失败返回false}else if(color[j] == c) return false;   // 染色冲突返回false}return true;
}int main()
{cin >> n >> m;memset(h, -1, sizeof h);     // 初始化表头for(int i = 0; i < m; i ++)   // 读入所有边{int a, b;cin >> a >> b;add(a, b), add(b, a);}int flag = true;for(int i = 1; i <= n; i ++)  // 遍历所有点，因为图中可能会有不连通的点集{if(!color[i])  // 如果还没有染色， 就染色{if(!dfs(i, 1))  // 判断是否染色成功{flag = false;  //失败将flag置0break;}}}if(flag) puts("Yes");else puts("No");return 0;
}