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 题目：39. 组合总和

难度：中等

给你一个 无重复元素 的整数数组 candidates 和一个目标整数 target ，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的 所有 不同组合 ，并以列表形式返回。你可以按 任意顺序 返回这些组合。

candidates 中的 同一个 数字可以 无限制重复被选取 。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。 

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于 150 个。

一、构造回溯

1.填充模板

0.模板

回溯树的最大宽度（最大搜索集）：candidates 

回溯树的最大深度：无（无限制重复被选取）

 两种写法：

（1）用求和结果做加法写法

def backtracking(self, candidates, target, p_sum, start_idx, path, ans):if p_sum == target:ans.append(path[:])returnif p_sum > target:returnfor i in range(start_idx, len(candidates)):ch = candidates[i]path.append(ch)p_sum += chself.backtracking(candidates, target, p_sum, i, path, ans)path.pop()p_sum -= ch

（2）用target做减法写法

def backtracking(self, candidates, target, start_idx, path, ans):if target == 0:ans.append(path[:])returnif target < 0:returnfor i in range(start_idx, len(candidates)):ch = candidates[i]target -= chpath.append(ch)self.backtracking(candidates, target, i, path, ans)path.pop()target += ch

2.关键步骤：

（1）划定访问范围

实现方式：起始位置start_idx

如果没有该步骤的代码：

def backtracking(self, candidates, target, p_sum, path, ans):if p_sum == target:ans.append(path[:])returnif p_sum > target:returnfor ch in candidates:p_sum += chif p_sum > target:breakpath.append(ch)self.backtracking(candidates, target, p_sum, path, ans)path.pop()p_sum -= ch

如果没有该步骤，

虽然同一个数字可以无限制重复被选取，

但没有该步骤，

会导致回溯树中多条路径到达同一个组合，

产生重复结果

测试案例： 

输入：candidates = [2,3,6,7]，target = 7

输出：[[2,2,3],[2,3,2],[3,2,2],[7]]

预期：[[2,2,3],[7]]

（2）求和结果q_sum

作用：

①判断终止条件，无需每次求和

②剪枝，在剪枝优化中详述

3.无剪枝代码实现

求和结果做加法和用target做减法主函数相同：

class Solution:def backtracking(self, candidates, target, p_sum, start_idx, path, ans):if p_sum == target:ans.append(path[:])returnif p_sum > target:returnfor i in range(start_idx, len(candidates)):ch = candidates[i]path.append(ch)p_sum += chself.backtracking(candidates, target, p_sum, i, path, ans)path.pop()p_sum -= chdef combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:ans = []self.backtracking(candidates, target, 0, 0, [], ans)return ans

二、剪枝优化

1.思路

若求和结果大于target，

则该路径后序节点的求和一定也大于target，

因此可以根据这个规律对函数进行剪枝，

2.关键步骤：主函数排序

按照这个思路，

在程序中添加若求和大于target直接跳出循环的命令，

可以写出以下代码：

def backtracking(self, candidates, target, p_sum, start_idx, path, ans):if p_sum == target:ans.append(path[:])returnif p_sum > target:returnfor i in range(start_idx, len(candidates)):ch = candidates[i]p_sum += chif p_sum > target:breakpath.append(ch)self.backtracking(candidates, target, p_sum, i, path, ans)path.pop()p_sum -= ch

然而测试结果：

输入

candidates = [8,7,4,3]，target = 11

输出：[]

预期：[[8,3],[7,4],[4,4,3]]

 原因是这种实现方式会导致当程序访问到7时求和为15>11，

使得后序的4，3无法被继续访问，

即位置靠前较大的元素可能导致后序的较小元素失去访问资格

那为什么在216.组合总和III中可以直接插入判断求和的步骤来实现呢？

因为216.组合总和III中的搜索集是有序的，不会发生以上问题

因此有解决办法：在主函数中对candidate进行排序

def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:ans = []candidates.sort()  # 排序self.backtracking(candidates, target, 0, 0, [], ans)return ans

3.实现

完整代码（python）：

class Solution:def backtracking(self, candidates, target, p_sum, start_idx, path, ans):if p_sum == target:ans.append(path[:])returnif p_sum > target:returnfor i in range(start_idx, len(candidates)):ch = candidates[i]p_sum += chif p_sum > target:breakpath.append(ch)self.backtracking(candidates, target, p_sum, i, path, ans)path.pop()p_sum -= chdef combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:ans = []candidates.sort()self.backtracking(candidates, target, 0, 0, [], ans)return ans