五 转置，置换和向量空间
- 1. 置换矩阵
- 2. 转置矩阵
- 3. 对称矩阵
- 4. 向量空间
- 4.1 向量空间
- 4.2 子空间
1. 置换矩阵
定义： 用于行互换的矩阵P。
之前进行A=LU分解时，可能存在该行主元为0，要进行行互换，即PA=LU
性质： P − 1 = P T P^{-1} = P^{T} P−1=PT， P T P = I P^{T}P=I PTP=I
例子：
[ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] . . . \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} ... 100010001 010100001 ...
2. 转置矩阵
[ 1 3 2 3 4 1 ] T = [ 1 2 4 3 3 1 ] {\begin{bmatrix} 1&3\\ 2&3\\ 4&1 \end{bmatrix}}^{T} = \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 3&3&1 \end{bmatrix} 124331 T=[132341]
( A T ) i j = A j i (A^T)_{ij} = A_{ji} (AT)ij=Aji
3. 对称矩阵
定义： A i j = A j i A_{ij} = A_{ji} Aij=Aji
性质： 对称矩阵的转置不变性 A T = A A^T = A AT=A
推论： R T R R^TR RTR都是对称矩阵
( R T R ) T = R T ( R T ) T = R T R (R^TR)^T = R^T(R^T)^T = R^TR (RTR)T=RT(RT)T=RTR
4. 向量空间
4.1 向量空间
记 R 2 R^2 R2为所有二维空间实数向量，组成的向量空间。
R n R^n Rn为所有n维空间实数向量，组成的向量空间。
性质：
- 所有数乘，加法都在子空间中
- 包含零向量
4.2 子空间
定义：空间中的一部分，且满足性质1和性质2。
例子：
R 2 R^2 R2的子空间包含
- R^2 二维平面
- 通过(0,0)点的直线
- 零向量
其他：存在子空间P和L, P ∪ L P\cup L P∪L不是子空间， P ∩ L P \cap L P∩L是子空间
