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编写函数y=RungeKutta(x,h)，使用Runge-Kutta
法求解微分方程并分析误差。函数参数含义同上，再编写脚本，通过调用函数分别以不同步长(例如h=1.0，h=0.5，h=0.25)计算y(3)，并分析步长和误差之间的关系。

下面是使用 Python 实现的 RungeKutta 函数以及一个脚本，用于求解微分方程并分析误差。这里我们以一个简单的一阶常微分方程 $\frac{dy}{dx}=y$，初始条件 $y(0)=1$ 为例，其解析解为 $y(x)=e^x$。

import mathdef RungeKutta(x, h):"""使用四阶 Runge - Kutta 法求解微分方程 dy/dx = y，y(0) = 1:param x: 目标点 x 的值:param h: 步长:return: 在 x 处的数值解"""y = 1  # 初始条件 y(0) = 1steps = int(x / h)for _ in range(steps):k1 = h * yk2 = h * (y + k1 / 2)k3 = h * (y + k2 / 2)k4 = h * (y + k3)y = y + (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6return y# 分别以不同步长计算 y(3) 并分析误差
x = 3
step_sizes = [1.0, 0.5, 0.25]
for h in step_sizes:numerical_solution = RungeKutta(x, h)analytical_solution = math.exp(x)error = abs(numerical_solution - analytical_solution)print(f"步长 h = {h} 时，y({x}) 的数值解: {numerical_solution}, 解析解: {analytical_solution}, 误差: {error}")

代码解释

1. RungeKutta 函数：

   • 该函数使用四阶 Runge - Kutta 方法求解微分方程 $\frac{dy}{dx}=y$，初始条件为 $y(0)=1$。
   • 函数接受两个参数：x 是目标点的值，h 是步长。
   • 在函数内部，通过迭代计算每个步长上的 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 值，并更新 $y$ 的值，最终返回在 x 处的数值解。

2. 主脚本：

   • 定义目标点 x = 3 和不同的步长 step_sizes。
   • 遍历不同的步长，调用 RungeKutta 函数计算数值解，并与解析解 $y(x)=e^x$ 进行比较，计算误差并打印结果。

步长和误差的关系

一般来说，步长越小，四阶 Runge - Kutta 方法的误差越小。这是因为四阶 Runge - Kutta 方法的局部截断误差是 $O(h^5)$，全局截断误差是 $O(h^4)$，当步长 $h$ 减小时，误差会以 $h^4$ 的速度减小。从打印的结果中可以观察到，随着步长的减小，误差也会显著减小。