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行列式为1的矩阵不一定是正交矩阵。一个矩阵是正交矩阵需要满足两个条件：

1. 它的转置等于它的逆，即 ${\mathbf{R}}^{\top }={\mathbf{R}}^{-1}$。
2. 它的行列式为1或-1，即 $\det (\mathbf{R})=\pm 1$。

如果仅满足第二个条件（$\det (\mathbf{R})=1$），但不满足第一个条件，那么该矩阵就不是正交矩阵。

反例：

考虑以下2x2矩阵：

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

这个矩阵的行列式为：

$$\det (\mathbf{A})=(1)(1)-(1)(0)=1$$

但是，(\boldsymbol{A}) 的转置和逆并不相等：

$${\mathbf{A}}^{\top }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$$

$${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

显然，${\mathbf{A}}^{\top }\ne {\mathbf{A}}^{-1}$，因此 $\mathbf{A}$ 不是正交矩阵。

这个例子说明了即使一个矩阵的行列式为1，它也不一定是正交矩阵。正交矩阵必须同时满足转置等于逆矩阵的条件。