目录一个人历程二魔方基本要素三魔方的结构化1魔方的状态2魔方的操作3复原问题4还原任意状态问题5子问题四魔方分类1分类大纲2概念澄清1固形2轴3整体旋转五魔方之间的关系理论0为什么要梳理所有魔方之间的关系1均匀满射2部件分组3魔方内部2个部件之间的关系42个魔方的部件之间的关系0默认映射1单个部件和单个部件的关系2一组部件和一组部件的关系3所有部件和所有部件的关系5魔方之间的关系1等价2伪同构3一级一类4一级其他一级相似关系5子集6双重子集7二级其他二级相似关系8简化9三级其他三级相似关系10融合11四级其他四级相似关系6二元关系总览1画图原则2六轴对称固形遗忘魔方3其他对称固形遗忘魔方​编辑4其他魔方7几个有趣的关系1三阶空心魔方 VS 三阶魔方2简化六魔方差分、恒等式1魔方差分2恒等式七获得魔方复原方法的方法论1确认该魔方的结构化2找到一个接近复原状态的非复原状态3分析出复原方法的梗概4找出预期存在的公式5更加完整的方法论一个人历程2020年1月6日开始系统化地写魔方系列博客。我从初一开始玩魔方首先玩的就是三阶魔方靠自己的理解轻轻松松就能完成正确的一面但是根本无法复原。大概在初二的时候在魔方小站学习了层先法就学会复原了。然后以此为基础其他所有魔方都靠自己探索。首先是二阶魔方和四阶魔方会复原了而且我知道四阶魔方怎么样操作就不需要最后一步的特殊公式。高中的时候在脑海中完成了分析确定任意阶魔方都会复原但是对此没有任何记录。然后我买了7阶魔方果然7阶魔方是会复原的。然后大学沉迷学习和看小说也没什么钱就没有再探索魔方了。毕业之后一年半一直没有从事研发类岗位更没有探索了。现在是2020年1月6日我最近转岗重新回到了开发岗今天重启魔方探索。二魔方基本要素要定义一个魔方最基本的要素我认为有3个1魔方的组成部件中心块棱块角块等等。2魔方的可执行操作可以执行的操作构成的集合魔方通行的按轴数分类的方法就属于这方面。3魔方的目标态要转成什么样子大部分魔方是有唯一复原态的。目标态包括颜色、组成部件的位置和方向等。三魔方的结构化所有魔方都可以转化成一个结构化的问题。1魔方的状态首先每个部件分为固定位置和可变位置。其次每个部件根据形状和颜色决定有多少种朝向。最后一个魔方的状态包括所有部件的位置和朝向。可以把复原状态记为x0PS每个部件的位置和朝向都是非常有限的2魔方的操作一个操作其实就是一个A到B的映射函数其中B是魔方的所有状态构成的集合而A是B的子集。f(x)y表示经过1次该操作x状态就可以变成y状态一个魔方的操作集可以表示成{f1,f2,...,fk}一共k种操作PS每个魔方的操作数都是非常有限的不存在旋转123度这种旋转任意角度的情况能旋转123度的魔方也不能说绝对不存在但是可能需要几千个部件现在还不存在这个世上3复原问题魔方的复原问题可以表示成一个结构化的图论问题魔方的每个状态都是一个点每个状态下的每种操作都是一条有向边这样就构成了一个确定的有限的图。复原问题就是在这个图中任选一点找到通向复原状态对应的点的有向路径。也可以表示成代数的形式即求函数gg(x)是一个序列{t1,t2,...,tn}n是复原所需的步数使得ft1(ft2(...ftn(x)...))x0成立4还原任意状态问题把魔方从任意状态x变成任意状态y即求函数FF(x,y)是一个序列{t1,t2,...,tn}n是复原所需的步数使得ft1(ft2(...ftn(x)...))y成立5子问题几乎所有的魔方都有层先法层先法是把问题拆分成若干子问题每个子问题都有各自的方法或者公式。魔方也有其他方法可以复原层先法是最简单但是步骤比较多的方法。不同的复原方法会把复原问题拆分成不同的子问题。四魔方分类1分类大纲按照魔方能否被打乱位置和朝向分为普通魔方、恒位魔方只能打乱朝向、恒等魔方位置和朝向都无法打乱普通魔方按照魔方操作是否是遗忘操作即在任意状态下合法的操作集都是一样的分为遗忘魔方和非遗忘魔方。普通魔方按照魔方外形是否固定分为固形魔方和非固形魔方。其中固形遗忘魔方按照操作是否具有对称性分为对称魔方、非对称魔方。所以一共分7大类对称固形遗忘魔方、非对称固形遗忘魔方、非固形遗忘魔方、固形非遗忘魔方、非固形非遗忘魔方、恒位魔方、恒等魔方。2概念澄清1固形这里的魔方外形是拓扑的概念而不是单纯的几何外形。比如三阶齿轮和五阶齿轮随便一转就不是正方体的外形但这只是部件的朝向不同而已所以还是固形魔方。但是二阶齿轮我认为是非固形魔方因为需要拉开和合并。2轴二阶魔方是六轴而不是三轴。那么同理斜转魔方是八轴而不是四轴。3整体旋转一般情况下我们不把整个魔方旋转当成一种操作参考“幽灵部件”。但是有时为了提高搜索算法的效率也可以引入这个操作。五魔方之间的关系理论0为什么要梳理所有魔方之间的关系因为这样才能更深刻的认识魔方理论更快的破解魔方的复原方法。举个例子来说魔方AB很像怎么样根据A的公式得到B的公式这个问题抽象出来之后我们下次再考虑“魔方CD很像怎么样根据C的公式得到D的公式”这个问题的时候就发现答案早已有了。1均匀满射如果集合A的元素数是n*m集合B的元素数是n且集合A到B的满射f满足对于B中的任意元素y在A中恰好有m个元素x使得f(x)y则称A到B的映射是均匀满射。2部件分组一般情况下把一个魔方的所有部件分成若干组的依据都是“可达”这个二元关系。以三阶魔方为例固定位置的中心块和任何块都不可达那么所有的中心块为一组而所有的角块之间都是可达的那么所有的角块为一组同理所有的棱块为一组。3魔方内部2个部件之间的关系部件之间的非平凡关系是不可区分关系即可达且等价也就是上文的“可交换部件”。四阶魔方的四个白色中心块之间就是可达且等价所以是不可区分的。但是四阶魔方复原之后相邻的2个棱块虽然看起来一样也是可达的但却是可区分的因为一个棱块到底另一个棱块的位置时必定朝向是反的。42个魔方的部件之间的关系0默认映射上文提到部件分组是依据可达关系所以五阶魔方的所有棱块并不是1组而是2组即12个中心棱和24个侧棱。那么在讨论2个魔方的深刻联系时我们讨论的肯定是数量相同的2组部件。这2组部件如何进行一一对应一般都是很明显的毫无争议的我们称之为2组部件之间的默认映射。1单个部件和单个部件的关系部件之间的非平凡关系有2种等价、均匀满射平凡关系就是无关。2一组部件和一组部件的关系常见的第一类非平凡关系有全部等价、全部均匀满射、部分均匀满射部分等价。我们把这一类关系记作两组部件之间的第一类相似关系即部件可以一一对应且对应的每2个部件之间都是非平凡关系。常见的第二类非平凡关系是两组部件的数量一样一组是每个部件都可区分一组是部分部件不可区分如果把一样的这些部件看做一个元素则2个元素数不同的集合之间是满射关系。我们把这一类关系记作两组部件之间的第二类相似关系。PS这里我用的术语是2个集合之间是满射关系而不是2个集合之间存在满射是因为原意是“2个集合的默认映射是满射”默认映射的概念参考上文。常见的第三类非平凡关系是两组部件的数量一样且各有一部分部件是不可区分的且两个部件组的“可区分”这个二元关系是同构的。我们称之为两组部件之间的第三类相似关系。---------------------------------------只有这个还没找到实例-----------------常见的第四类非平凡关系是两组部件的数量一样且各有一部分部件是不可区分的且两个部件组的“可区分”这个二元关系是不同构的。我们称之为两组部件之间的第四类相似关系。3所有部件和所有部件的关系常见的非平凡关系有4种第一种分组数相同A魔方的每一组和B魔方的对应组都是相似关系。第二种A的分组数小于B的分组数A魔方的每一组和B魔方的对应组都是相似关系。第三种A的分组数大于nB的分组数也大于nA魔方中有n组和B魔方的n组之间是相似关系俩魔方的剩余组之间是平凡关系。第四种所有部件组都是平凡关系但是复原思路类似。我们分别称之为一级、二级、三级、四级相似关系。5魔方之间的关系1等价一级相似关系中最特殊的一种就是等价关系。即各个部件组都是第一类相似关系中的全部等价关系且操作集也是同构的。如三阶魔方和镜面魔方是等价关系。二阶魔方和二阶镜面魔方是等价关系。三阶图案魔方A和乾坤魔方是等价关系。三阶图案魔方D和三阶魔方是等价关系。香蕉魔方和223魔方是等价关系。2伪同构伪同构就是各个部件组都是第一类相似关系中的全部等价关系但操作集是不同构的。如三阶半转魔方和三阶魔方是伪同构关系。唯棱魔方和八轴三阶魔方是伪同构关系。3一级一类一级一类就是各个部件组都是第一类相似关系但至少1个组不是全部等价关系。换句话说一级一类就是各个部件组都是第一类相似关系但是整体不是等价也不是伪同构。如上古魔方和三阶魔方是一级一类关系其中角块是全部等价棱块是部分均匀满射部分等价中心块是部分均匀满射部分等价。棋盘二A和棋盘二B是一级一类关系其中角块是全部均匀满射。三阶图案魔方A和三阶魔方是一级一类关系其中角块是全部等价棱块是全部等价中心块是全部均匀满射。三阶图案魔方B和三阶魔方是一级一类关系其中角块是全部等价棱块是全部等价中心块是部分均匀满射部分等价。三阶扭曲魔方和三阶图案魔方C4X是一级一类关系其中角块是全部等价棱块是部分均匀满射部分等价中心块是全部等价。金子魔方和四轴枫叶魔方是一级一类关系其中角块是全部等价棱块是全部均匀满射。斜转魔方和斜转扭曲魔方是一级一类关系其中角块是全部等价棱块是部分均匀满射部分等价。12轴足球魔方和五魔方是一级一类关系其中12轴足球魔方的三角形中心块和五魔方的角块是全部均匀满射12轴足球魔方的五边形中心块和五魔方的中心块是全部均匀满射12轴足球魔方的三角形中心块和五魔方的棱块是全部等价。钻石魔方和三阶魔方是一级一类关系其中角块是部分均匀满射部分等价棱块是全部等价中心块是全部等价。4一级其他一级相似关系即除了等价和伪同构和一级一类之外所有的一级相似关系。即至少有一组部件不是第一类相似关系的一级相似关系。如棋盘二A和二阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系。棋盘二B和二阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系。棋盘四和四阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系棱块是第二类相似关系中心块是第四类相似关系。棋盘三C和三阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系棱块是第二类相似关系中心块是第二类相似关系。棋盘五C和五阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系侧棱是第二类相似关系中心棱是第二类相似关系中心块是第四类相似关系。粽子魔方和三阶魔方是一级相似关系其中三阶魔方的角块和粽子魔方对应块是部分均匀满射部分等价三阶魔方的棱块和粽子魔方对应块是第二类相似关系三阶魔方的中心块和粽子魔方对应块是全部均匀满射。苹果魔方和三阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系棱块是第二类相似关系中心块是部分均匀满射部分等价。三阶百搭魔方和三阶魔方是一级相似关系其中角块是全部等价棱块是全部等价中心块是第二类相似关系。三面体魔方和三阶魔方是一级相似关系其中角块是部分均匀满射部分等价棱块是第二类相似关系中心块是全部等价。圆柱三阶魔方和三阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系棱块是第二类相似关系中心块是第二类相似关系。233魔方和圆柱233A是一级相似关系其中角块是第二类相似关系棱块是第二类相似关系中心块是全部等价。六棱柱魔方和三阶魔方是一级相似关系其中角块是部分均匀满射部分等价棱块是第二类相似关系中心块是全部均匀满射。三明治魔方和三阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系棱块是第二类相似关系中心块是第二类相似关系。独角兽魔方和三阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系棱块是第二类相似关系中心块是第二类相似关系。薯条魔方和三阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系棱块是第二类相似关系中心块是第二类相似关系。小红帽魔方和三阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系棱块是第二类相似关系中心块是全部等价。凹凸魔方和三阶魔方是一级相似关系其中角块是第二类相似关系棱块是第二类相似关系中心块是全部等价。5子集即对应组都是第一类相似关系中的全部等价关系且操作集也是同构的。如二阶魔方是三阶魔方的子集二阶镜面魔方是三阶镜面魔方的子集三阶空心魔方是三阶百搭魔方的子集唯棱魔方是三阶空心魔方的子集二阶五魔方是五魔方的子集122魔方是123魔方的子集6双重子集即对应组都是第一类相似关系中的全部等价关系且操作集也是子集关系。如三阶魔方是五阶魔方的双重子集五阶魔方是七阶魔方的双重子集二阶魔方是四阶魔方的双重子集四阶魔方是六阶魔方的双重子集棋盘三A是棋盘五A的双重子集棋盘三B是棋盘五B的双重子集棋盘三C是棋盘五C的双重子集棋盘二A是棋盘四的双重子集棋盘四是棋盘六的双重子集棋盘六是棋盘八的双重子集三阶魔方是4叶按钮魔方的双重子集112魔方是113魔方的双重子集113魔方是114魔方的双重子集223魔方是233魔方的双重子集金子魔方是金字塔魔方的双重子集三阶半转魔方是2叶按钮魔方的双重子集7二级其他二级相似关系暂无8简化所谓简化就是A魔方的部件组数大于B魔方但是A的若干组部件经过合并之后可以和B的对应部件组形成第一类相似关系中的全部等价关系且这个合并过程提供了一个非平凡的复原方法。如三阶魔方是四阶魔方的简化斜转魔方是极光闪蝶魔方的简化9三级其他三级相似关系如四轴枫叶魔方和金字塔二重奏魔方是三级相似关系10融合如双心魔方是爱心魔方的融合11四级其他四级相似关系如114魔方和转角兽魔方是四级相似关系一阶魔方和一阶金字塔是四级相似关系一阶魔方和一阶五魔方是四级相似关系五魔方和三阶魔方是四级相似关系二阶五魔方和二阶魔方是四级相似关系棋盘五A和棋盘五B是四级相似关系棋盘三A和棋盘三B是四级相似关系6二元关系总览1画图原则不一定会把所有关系都画出来但是会尽量避免出现孤岛孤点明显具有传递性质的二元关系有些就不画了比如二阶魔方是六阶魔方、七阶魔方的双重子集。所有的等价关系一定都画出来了。2六轴对称固形遗忘魔方3其他对称固形遗忘魔方4其他魔方7几个有趣的关系1三阶空心魔方 VS 三阶魔方一般来说A的部件是B的子集那么复原B的方法一定可以用于复原A但是复原三阶魔方的方法用于复原三阶空心魔方却需要做一点微调。本质原因是空心魔方的中心块是存在的却又看不见所以只能随便猜一个六色布局有1/2概率需要处理猜错的情况。2简化A魔方简化成B魔方一般需要解决3类问题。第一类问题部件如何合并如果有多组需要合并可能还涉及合并的顺序问题第二类问题最后几个部件无法直接合并的特殊情况处理第三类问题合并之后按照B魔方的方法去复原会出现无法复原的特殊情况这3类问题都要求我们对B魔方有着除了知道复原方法之外更深刻的原理认知才能以不变应万变迎刃而解。六魔方差分、恒等式1魔方差分如果2个魔方是一级相似关系且复原方法非常接近那么我们可以用差分来表示子问题关系。用集合语言来描述把1个魔方需要需要处理的问题表示成1个集合则A魔方和B魔方的差分就是A-(AB)记作DA-B即在掌握了B的复原方法之后只需要知道D如何处理即可复原A。常见差分D1 二阶镜面魔方 - 二阶魔方即不通过颜色只通过形状来确定部件的对应关系和朝向D2 三阶百搭魔方 - 三阶魔方即隐形中心块的定位问题D3 三阶图案魔方B- 三阶魔方即中间层4个中心块的朝向处理D4 三阶图案魔方A- 三阶图案魔方B即顶层中心块的朝向处理D5 三阶扭曲魔方 - 三阶图案魔方A即中间层棱块的隐形朝向问题D6 三面体魔方 - 三阶魔方即棱块的隐形区分问题D7 钻石魔方 - 三阶魔方即顶层角块的隐形朝向问题D8 上古魔方 - 三阶魔方 - D3 - D5即六面颜色定位问题D9 凹凸魔方即底层复原问题D10 小红帽魔方 - 凹凸魔方即中间层复原问题D11 三阶魔方 - 小红帽魔方即顶层复原问题PSD2是6个中心块和整个魔方之间的位置关系D8是6个面之间的位置关系。2恒等式在已经定义一些差分的前提下可以提出一些恒等式。三阶镜面魔方 - 三阶魔方 D1三阶空心魔方 - 三阶魔方 D2苹果魔方 - 三阶魔方 D3粽子魔方 - 三阶魔方 D3 D4六棱柱魔方 - 三阶魔方 D3 D4 D6 D7圆柱三阶魔方 - 三阶魔方 D3 D5三阶扭曲魔方 - 三阶魔方 D3 D5七获得魔方复原方法的方法论以二阶齿轮魔方为例介绍一下对于任何一种没见过的新魔方如何推导出这种魔方的复原方法。1确认该魔方的结构化第一次拿到这个魔方我花了1分钟左右确定了操作集从而确定了结构化。2找到一个接近复原状态的非复原状态注意这种接近关系需要是非平凡的这个概念参考《跨领域的抽象概念》中的“魔方的平凡接近状态”我花了3分钟找到了这个非平凡的接近复原状态那么此时我就确定了存在一个公式可以单独调整大角块的朝向。3分析出复原方法的梗概二阶齿轮魔方只有4个小角块和4个大角块且已经确定存在一个公式可以单独调整大角块的朝向。于是我基本上就确定了复原方法的梗概第一步调整正方体外形第二步调整4个小角块的朝向第三步调整4个大角块的朝向。可行性分析因为层先法最难的就是最后一步要保证不会打乱之前的步骤而这个方法的最后一步是确定可行的所以整个方法基本上确定是可行的。4找出预期存在的公式这一步我大概花了5分钟。至此复原方法就完整的得到了。5更加完整的方法论参考魔方复原方法推导