三、一元函数积分学及其应用(高数)

📅 2026/8/22 12:43:48
三、一元函数积分学及其应用(高数)
三、一元函数积分学及其应用高数前言一、不定积分概念与性质1、基本积分表2、不定积分的分部积分法3、常用积分公式4、一元函数可导、可微、连续、有界、可积的关系前言积分分为不定积分和定积分区别在于不定积分为不限制范围目的在于寻找可导函数使得导函数等于已知函数更加偏重于理论。而定积分更加偏于实际问题更多计算具有实际意义。一、不定积分概念与性质定义1如果在区间I II上可导函数F ( x ) F(x)F(x)的导函数为f ( x ) f(x)f(x),即对任一x ∈ I x \in Ix∈I都有F ′ ( x ) f ( x ) 或 d F ( x ) f ( x ) d x , F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,F′(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,那么函数F ( x ) F(x)F(x)就称为f ( x ) f(x)f(x)(或f ( x ) d x f(x)dxf(x)dx)在区间I II上的原函数。原函数存在定理如果函数f ( x ) f(x)f(x)在区间I II上连续那么在区间上存在可导函数F ( x ) F(x)F(x)使对任一x ∈ I x\in Ix∈I都有F ′ ( x ) f ( x ) . F(x)f(x).F′(x)f(x).定义2在区间I II上函数f ( x ) f(x)f(x)的带有任意常数项的原函数称为f ( x ) f(x)f(x)(或f ( x ) d x f(x)dxf(x)dx)在区间上的不定积分记作∫ f ( x ) d x , \int f(x)dx,∫f(x)dx,其中∫ \int∫记号称为积分号f ( x ) f(x)f(x)称为被积函数f ( x ) d x f(x)dxf(x)dx称为被积表达式x xx称为积分变量。1、基本积分表第一类1.∫ k d x k x C \int kdxkxC∫kdxkxCk kk是常数2.∫ x μ d x x μ 1 μ 1 C \int x^{\mu}dx\frac{x^{\mu 1}}{\mu 1}C∫xμdxμ1xμ1​C3.∫ d x x ln ⁡ ∣ x ∣ C \int \frac{dx}{x}\ln|x|C∫xdx​ln∣x∣C4.∫ d x 1 x 2 arctan ⁡ x C \int \frac{dx}{1x^2}\arctan xC∫1x2dx​arctanxC5.∫ d x 1 − x 2 arcsin ⁡ x C \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\arcsin xC∫1−x2​dx​arcsinxC6.∫ e x e x C \int e^xe^xC∫exexC7.∫ a x a x ln ⁡ a C \int a^x\frac{a^x}{\ln a}C∫axlnaax​C三角函数类8.∫ sin ⁡ x − cos ⁡ x C \int \sin x-\cos xC∫sinx−cosxC9.∫ cos ⁡ x sin ⁡ x C \int \cos x\sin xC∫cosxsinxC10.∫ tan ⁡ x d x − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ C \int \tan xdx-\ln |\cos x|C∫tanxdx−ln∣cosx∣C11.∫ cot ⁡ x d x − ln ⁡ ∣ sin ⁡ x ∣ C \int \cot xdx-\ln |\sin x|C∫cotxdx−ln∣sinx∣C12.∫ sec ⁡ x d x ln ⁡ ∣ sec ⁡ x tan ⁡ x ∣ C \int\sec xdx\ln|\sec x\tan x|C∫secxdxln∣secxtanx∣C13.∫ csc ⁡ x d x ln ⁡ ∣ csc ⁡ x − cot ⁡ x ∣ C \int\csc xdx\ln|\csc x-\cot x|C∫cscxdxln∣cscx−cotx∣C14.∫ sec ⁡ x tan ⁡ x d x sec ⁡ x C \int \sec x\tan xdx\sec xC∫secxtanxdxsecxC15.∫ csc ⁡ x cot ⁡ x d x − csc ⁡ x C \int \csc x\cot xdx-\csc x C∫cscxcotxdx−cscxC16.∫ d x cos ⁡ 2 x ∫ s e c 2 x d x tan ⁡ x C \int \frac{dx}{\cos^2x}\int sec^2xdx\tan xC∫cos2xdx​∫sec2xdxtanxC17.∫ d x sin ⁡ 2 x ∫ c s c 2 x d x − cot ⁡ x C \int \frac{dx}{\sin^2x}\int csc^2xdx-\cot xC∫sin2xdx​∫csc2xdx−cotxC2、不定积分的分部积分法∫ u d ν u ν − ∫ ν d u \int{u}\,{\rm d}\nuu\nu-\int{\nu}\,{\rm d}u∫udνuν−∫νdu[例]∫ t 2 e t d t \int t^2e^t{\rm d}t∫t2etdt解∫ t 2 e t d t t 2 e t − 2 t e t ∫ 2 e t d t t 2 e t − 2 t e t 2 e t C \int t^2e^t{\rm d}t t^2e^t-2te^t\int 2e^t{\rm d}t t^2e^t-2te^t2e^tC∫t2etdtt2et−2tet∫2etdtt2et−2tet2etC3、常用积分公式∫ sec ⁡ n x d x sec ⁡ n − 2 x tan ⁡ x n − 1 n − 2 n − 1 ∫ sec ⁡ n − 2 x d x \int \sec ^nx{\rm d}x\frac{\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}x{\rm d}x∫secnxdxn−1secn−2xtanx​n−1n−2​∫secn−2xdx{ ∫ sec ⁡ x d x ln ⁡ ∣ sec ⁡ x tan ⁡ x ∣ C ∫ sec ⁡ 2 x d x tan ⁡ x C ∫ sec ⁡ 3 x d x 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x 1 2 ∫ sec ⁡ 2 x d x ∫ sec ⁡ 4 x d x 1 3 sec ⁡ 2 x tan ⁡ x 2 3 ∫ sec ⁡ 2 x d x \begin{cases} \int \sec x{\rm d}x\ln|\sec x\tan x|C\\[2ex] \int \sec^2x{\rm d}x\tan xC\\[2ex] \int \sec^3x{\rm d}x\frac{1}{2}\sec x\tan x\frac{1}{2}\int \sec ^2x{\rm d}x\\[2ex] \int \sec^4x{\rm d}x\frac{1}{3}\sec^2 x\tan x\frac{2}{3}\int \sec ^2x{\rm d}x \end{cases}⎩⎨⎧​∫secxdxln∣secxtanx∣C∫sec2xdxtanxC∫sec3xdx21​secxtanx21​∫sec2xdx∫sec4xdx31​sec2xtanx32​∫sec2xdx​4、一元函数可导、可微、连续、有界、可积的关系其他章节内容一、函数、极限、连续二、一元函数微分学及其应用四、空间解析几何五、多元函数微分学及其应用高数七、微分方程及其应用八、无穷级数