电路的反馈系数也是与频率有关的。反相积分器电路则不仅可以用于滤波电路中还可以在信号发生器和数据转换器中应用相关内容在后续章节将会提及。已知理想的反相积分器的传输函数为其中理想单位增益频率f0(ideal)​由RC时间常数决定它表示积分器的“特征频率”——频率每增加10倍增益下降20dB积分器的标志性斜率。由于运算放大器的增益会随着频率增大而出现滚降因此估计传输函数 H(jf) 与理想值也会有所偏离。借助图 4.20a 所示的 PSpice 仿真电路将这个偏差可视化即采用具有 1MHz 增益带宽积(GBP)和 a0​105V/V 的运算放大器来设计这样一个单位增益频率图 4.20b 表明只有在一段频率范围即从 10^3 到 10^4Hz 内H(jf) 和 Hideal​(jf) 才会比较接近。利用 PSpice 光标测试可知单位增益频率为 fo​89.74kHz 。为了更深入地研究我们计算出反馈系数显然这是一个高通类型的函数式子中 β∞​ 为 β 的渐近线这可以通过将 C 视为一根导线得到 f1​ 为转折频率它由 C 和 C 的等效电阻得到。有环路增益 ∣T∣ 在图中表现为 ∣α∣ 和 ∣1/β∣ 两曲线之差它可以衡量实际的传输函数 H(jf) 与理想值的偏差。通过观察可以得到以下信息(1) 从 f1​ 到 fo​ 范围内环路增益 ∣T∣ 最大且与频率无关。在此区间内运放开环增益A(jf)≈GBP/f单极点近似反馈系数β(jf)≈β∞​/(1jf/f1​)ff1​时β变化小。两者乘积TAβ达到最大值且近似恒定此时H(jf)最接近理想积分器。(2) 低于 f1​ 时 ∣T∣ 随着频率减小而减小直到 ∣α∣ 和 ∣1/β∣ 两曲线交叉点 ∣T∣ 变为单位增益。低于 f1​ 时C 相当于开路故运算放大器工作在全开环增益状态有 Ho​[ro​/(Rro​)]ao​≈90.9×103909V/V59.2dB 。当ff1​电容C的容抗增大XC​1/(2πfC)C等效于开路反馈网络断开运放进入开环状态。此时环路增益TAβ随f减小而减小因β→0直到∣α∣与∣1/β∣交叉T1负反馈失效。开环增益此时运放输出电阻ro​与输入电阻R分压得H0​Rro​ro​​a0​≈909V/V59.2dB远大于理想值。(3) 高于 fo​ 时 ∣T∣ 随着频率增大而减小直到 ft​ 附近 ∣α∣ 和 ∣1/β∣ 两曲线再次交叉。超过该交叉点后 ∣H∣ 的斜率变为 −40dB/10 倍频其中 −20dB/10 倍频是积分器电路自身产生的另外 −20dB/10 倍频是由偏离函数 D1/(1jf/ft​) 产生的。当ff0​运放开环增益A(jf)≈GBP/f随f增大而衰减反馈系数β(jf)也因f增大而减小β∝1/f。两者共同作用下T快速下降直到f1​附近∣α∣与∣1/β∣再次交叉T1。后果超过交叉点后H(jf)的斜率从-20dB/十倍频理想积分器变为-40dB/十倍频——额外-20dB来自T减小的“偏离函数”D1/(11/T)。(4) 在很高频率处C 相当于导线导致直通增益为 at​≈ro​/R10−3V/V−60dB 。 H(jf) 的幅值曲线变平需要包含一对零点来抵消极点对产生的影响。显然至少到 f1​ 之前积分器电路表现为一个恒定 GBP 的运算放大器它的 GBP≈fo​ 直流增益为 −3dB 带宽积为一个 Ho​ 。总结积分器的性能如幅频线性度、积分精度仅在T1的频率范围内约f0​到f1​接近理想。当频率超出此范围低频段ff0​C开路运放开环增益骤升高频段ff1​T减小斜率变陡出现直通增益。幅值和相位误差由于直通效应的出现超过了积分器的有效范围故可以忽略。该式表明 H(jf) 同时表现出幅值误差和相位误差。我们对 fb​≪f≪f1这段频率范围比较感兴趣因为此时的环路增益最大为表明运算放大器环路增益的滚降使积分器的单位增益频率从 f0(ideal)​ 降为 f0​f0(ideal)​/(11/T)。在本例中T0.9989×106/(109.88×103)9.09故单位增益频率从 100kHz 降低到 (100/(11/9.09))Hz90.09kHz (与 PSpice 仿真结果 89.74kHz 基本相符)。既然频率会被“衰减”设计师可以在计算电阻电容 RC 时故意把理想频率设高一点。比如计算出需要 111kHz 的积分频率选好元件后实际频率正好掉落到你想要的 100kHz。这是一种反向补偿思维。在本例中则需要预设计 1/(2πRC)(100kHz)×(11/9.09)111kHz这只需将 R 从 100kΩ 降低为 (100/111)kΩ90.09kΩ (PSpice 仿真结果为 88.65kΩ)。而实际上T 的减小而引入预失真的设计方法不太可取因为 ft​ 会受到生产工艺偏差、老化等因素影响。更好的做法是使用 ft​ 更大的运算放大器来达到 f0​(≈ft​)因为更大的 ft​ 会有更大的 T也就会减小不利因素对其的影响。而 ft​ 更大有效频率范围的上限也会更高就像更大的 a0​ 会减小有效频率范围一样根据式积分器会有 90∘ 的相移。实际上由于有两个转折点在有效频率的上下限相移都会偏离 90∘。下面将会看到高频端的相移是基于积分电路的滤波器(例如双积分器环路)中问题的根源。为了进一步研究假设 rd​∞,ro​0故 β∞​1 且第二个截点就在 ft​ 的右边。在这些条件下可以将在有效频率范围内较高频率处的积分器响应近似表示为上式表现出 εϕ​−arctan(f/ft​) 的相位误差。我们最关心的是 f0​ 附近的 εϕ​。由于设计得好的积分器有 f0(ideal)​≪ft​那么对于 f≪ft​可以近似有引入适当的相位超前以抵消由极点频率 ft​ 所引起的相位滞后可以减小 εϕ​。这个过程称为相位误差补偿。积分器的无源补偿容性补偿积分器的相位误差源于运放带宽的限制产生极点 ft​。为了修正这个误差文中提出的方法是在输入端引入一个零点。误差来源极点运放的有限带宽会在高频段产生相位滞后。补偿机制零点通过在电路中加入特定的阻抗如电容 Cc​ 或电阻 Rc​产生一个相位超前特性。当这个超前角与滞后角大小相等时两者相互抵消从而扩展了积分器保持 90∘ 相移的可用频率范围。电容的阻抗 ZC​ 随频率升高而降低表现为高通特性这本身会产生相位超前。为了精准抵消由 ft​ 引起的相位滞后需要调整 Cc​ 的值使得在转折频率 ft​ 处电容的容抗等于输入电阻的阻值。图 4.21a 所示电路中使用一个输入并联电容 Cc​ 对积分器进行补偿。如果给出的电容值满足 ∣ZCc​​(jft​)∣R 或者 1/(2πft​Cc​)R那么 Cc​ 的高通作用引起的相位超前就可以补偿低通项 1/(1jf/ft​) 引起的相位滞后。因此就扩展了可忽略相位误差的频率范围。这种技术称为零极点相消。它要求阻性补偿由图 4.21b 所示电路可以得到类似的结论。电路结构在反馈电容 C 上串联一个小电阻 Rc​同时将输入电阻从 R 减小为 R−Rc​。优势相比于电容补偿这种结构提供了更好的微调功能。在实际电路中可以通过精密调节 Rc​ 的阻值来适应不同芯片或环境变化带来的参数漂移从而更精确地逼近理想积分器特性。设计公式同样基于零极点相消的原理推导出反馈补偿电阻的公式可使 H(jf)→Hideal​。由于制造过程的偏差无法准确获得 ft​。因此对于每一单个运算放大器都必须对 Cc​ 和 Rc​ 进行微调。尽管如此由于 ft​ 对温度和电源的变化很灵敏所以很难维持补偿不变。积分器的有源补偿采用有源补偿可以巧妙地克服无源补偿的缺点。有源补偿则利用两个匹配的运算放大器OA1​、OA2​让其中一个运放OA2​的频率限制特性如增益带宽积ft​“镜像”另一个运放OA1​的特性从而主动抵消积分器的相位/幅值误差。参考图 4.22a 所示的方案应用叠加定理可得输入Vi​的贡献OA1​的反相增益为因运放开环增益a1​≈ai1/jf​​ai1​为低频开环增益故该项为其中f0​1/(2πRC)​是积分器的“理想转折频率”。反馈A2​Vo​的贡献OA2​的闭环增益为ft2​是OA2​的转折频率故该项为参考图 4.22a 所示的方案应用叠加定理可得最后一步表现出一个有趣的性质有理化过程使分子中 f/ft​ 的一阶和二阶项相互抵消只留下三阶项。因此当 f≪ft​ 时近似可得这个误差远比的误差要小。通过 PSpice 仿真图 4.22a 所示补偿方案的效果在图 4.23 中作了展示。图 4.22b 所示电路中极性反转的有源补偿正相位误差OA1​ 在它的反馈通路上含有反相运算放大器 OA2​所以为了保持负反馈需要交换 OA1​ 输入端的极性。可以证明式中忽略了 f/ft​ 的高阶项。此时有虽然这个值不如的值来得小但是这个相位误差具有正极性的优点(下面将会用到这个特点)。Q 增强补偿已经发现非理想运算放大器对双积分环路滤波器例如状态变量滤波器和双二阶滤波器的影响是增加 Q 的实际值使它高于理想运算放大器假设下的预期的设计值。这种效应确切地称为 Q 增强。在滤波器理论中Q 值决定了电路的选频特性尖锐程度即谐振峰的高低。理想 vs 现实设计滤波器时通常假设运算放大器是理想的带宽无限大。但在现实中运放有一个有限的转折频率过渡频率 ft​ 或 GBP。现象当把有限带宽的运放放入双积分环路结构中时电路的相位和增益特性发生微小畸变导致实际表现出来的 Q 值Qactual​比设计计算的理论值Q要高s而针对利用两个积分器和第三个放大器引入 A 相位误差的双二阶结构的情况进行分析的结果为这个公式告诉我们分母中的项决定了偏差程度。当 ft​ 很大运放很快时4Qf0​/ft​ 趋近于 0分母趋近于 1Qactual​≈Q即符合设计预期。当 ft​ 不够大时分母变小Qactual​ 显著增大。一个潜在的灾难性后果分母为零。物理意义当积分器的频率 f0​ 达到运放带宽 ft​ 的 1/(4Q) 时分母 1−4Qf0​/ft​ 变为 0。图 4.24 示出了设计值 Q25 和 ft​1MHz 时情况Qactual​ 随 f0​ 的增加而增加直至 f0​≈ft​/(4Q)(10^6/100)Hz10kHz 时变为无穷大。在这个频率点电路开始振荡。后果此时 Qactual​ 趋向于无穷大。在物理电路中这意味着滤波器在该频率点的增益变成了无穷大电路失去稳定性开始自激振荡。设计教训为了避免振荡必须确保 f0​ 远低于这个临界值。这也解释了为什么在设计高精度、高 Q 值的滤波器时必须选用高带宽高 GBP的运算放大器。除了 Q 增强外运算放大器有限的 GBP 也会使滤波器的 f0​ 发生偏移即负号含义表示实际的中心频率会比设计的 f0​ 偏低。影响因素偏移量与 Q 值成正比。Q 值设计得越高频率偏移的现象就越严重。对于小的 Q 偏移由得这些方程表明如果想让 Δf0​/f0​ 和 ΔQ/Q 在给定范围内GBP 需要满足特定条件。通常在实际工程中为了保证性能会要求 ft​10×4Qf0​甚至更高以将误差控制在几个百分点以内。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------在双二阶滤波器中要实现 f0​10kHzQ25 和 H0BP​0dB。由于 GBP 有限β 和 Q 会与设计值有所偏离。设计值的程度不超过它的 1%。求偏离程度不超过 1% 时各个元件的值。由 R1​R2​R5​R6​10kΩR3​R4​250kΩ 和 C1​C2​(5/π)nF为了满足 f0​ 和 Q 的设计要求分别需要 ft​≥f0​/(Δf0​/f0​)(104/0.01)Hz1MHz 和 ft​≥(4×25×104/0.01)Hz100MHz。其中Q 的条件要求更苛刻故 GBP≥100MHz。目标指标中心频率 f0​10kHz品质因数 Q25带通增益 H0BP​0dB即单位增益截止频率偏移Q值变化---------------------------------------------------------如果采用相位误差补偿来抵消 Q 增强的影响会很大程度上地放宽 Q 条件对 GBP 的苛刻要求。下面举个例子来加以说明。(1) 当运算放大器的 GBP1MHz 时借助 PSpice 仿真例 4.9 中双二阶滤波器的带通响应。(2) 求当与 R1​ 跨接时能为三个运算放大器模块提供无源补偿的 Cc​并求出补偿后的响应。(3) 对 C1​ 和 C2​ 进行预失真设计使得谐振频率为 10.0kHz。(4) 使用有源补偿重复以上设计。对比两种方案并做评价。解电路如图 4.25 所示。图 4.26a 所示“未补偿”曲线为没用 Cc​ 进行补偿前的带通响应曲线。显然未经补偿前的电路有 Q 增强现象。(2) 为了对两个积分放大器和极点频率为 fB​ft​/2 的单位增益反相放大器进行补偿我们使用一个 Cc​4/(2πR1​ft​)(2/(π104×106))F≈64pF 的电容这个电容是根据计算所得值的 4 倍。经过 Cc​ 补偿后的带通响应曲线即图 4.26a 所示的“未补偿”曲线。虽然 Q 增强产生的影响已经被中和了但是如所示的那样响应仍旧表现出一定的频率偏移。(3) 为了补偿该频率偏移我们对 C1​ 和 C2​ 进行预失真设计 100×f0​/ft​1%即将它们从 1.5915nF 降低为 1.5756nF。相应的响应曲线绘制在图 4.26b 中。借助 PSpice 的光标我们测量到谐振频率为 10.0kHz−3dB 带宽为 fL​9.802kHz 和 fH​10.202kHz(4) 为使用有源补偿我们对图 4.27 所示的反相放大器重新进行布线。根据式(4.5)第二个积分器和反相放大器产生的相位误差之和为正与第一个积分器相反。因此仅仅通过反相放大器的重新布线就得以中和总的相位误差。PSpice 仿真表明在该电路中不存在频率偏移故 C1​ 和 C2​ 的值保持不变。然而Q 的值却有所下降。根据经验将 R4​ 提高到 504kΩ 可以使 Q 保持为 25。后续还需思考