暅原理指出“幂势既同则积不容异”。即夹在两个平行平面之间的两个几何体若在任意等高处的水平截面积均相等则这两个几何体的体积必定相等。2. 构造几何模型设正方体的棱长为 r。构造以下两个几何模型模型一左图棱长为 r 的正方体内包含 18 个牟合方盖。在距离底面高度为 h 处作水平截面。模型二右图棱长为 r 的正方体内包含一个倒置的正四棱锥底面在正方体顶面顶点在正方体底面中心。在同样高度 h 处作水平截面。3. 截面积分析对模型一进行分析截面中紫色区域为 18 牟合方盖的截面是一个边长为 a 的正方形。红色区域为正方体截面与牟合方盖截面的差集即补体截面。由直角三角形包含弦 r、高 h 和截面边长 a可知根据勾股定理有r2a2h2因此模型一中红色区域补体的截面积 S1 为S1r2−a2h2对模型二进行分析根据相似多边形性质倒置正四棱锥在高度 h 处的截面是一个边长为 h 的正方形。因此模型二中红色区域正四棱锥的截面积 S2 为S2h24. 体积推导由于 S1S2h2 对于任意高度 h∈[0,r] 均成立由祖暅原理可知18 牟合方盖的补体体积等于正四棱锥的体积。正四棱锥的体积为V锥13⋅r2⋅r13r3因此18 牟合方盖的体积为正方体体积减去补体体积V18牟合r3−13r323r3由此可得完整的牟合方盖体积为V牟合8×23r3163r35. 球体体积的最终确定考虑一个半径为 r 的内切球。在任意高度 h 处球的截面是一个半径为 a 的圆面积为 πa2牟合方盖的截面是一个边长为 2a 的正方形面积为 4a2。两者在任意等高处的截面积之比恒为