1. 坐标系与变量定义采用ISO 8855坐标系x轴指向车辆前进方向纵向y轴指向车辆左侧横向z轴垂直向上1.1 运动变量- \( u \)纵向速度沿x轴- \( v \)横向速度沿y轴- \( r \)横摆角速度绕z轴左转为正- \( \psi \)横摆角满足 \(\dot{\psi} r\)1.2 车辆几何参数- \( l_f \)质心到前轴距离- \( l_r \)质心到后轴距离- \( t_f \)前轮轮距- \( t_r \)后轮轮距- \( h \)质心高度- \( m \)整车质量- \( I_z \)绕z轴的转动惯量1.3 车轮受力定义每个车轮\( i \in \{f, r\} \) 前后轴\( j \in \{l, r\} \) 左右在**车轮坐标系**中- 纵向力 \( F_{xij} \)沿车轮平面方向- 侧向力 \( F_{yij} \)垂直车轮平面方向1.4 外部力与力矩- \( F_x^{\text{ext}}\)**外部纵向力**如空气阻力、坡度分力、拖车力等沿x轴方向作用于车辆。- \( F_y^{\text{ext}}\)**外部横向力**如侧风、路面侧向坡度分力等沿y轴方向作用于车辆。- \( M_z^{\text{ext}}\)外部横摆力矩例如由不对称空气阻力或路面不平引起。- 此外垂向外部力\( F_z^{\text{ext}}\)、侧倾力矩 \( M_x^{\text{ext}}\)、俯仰力矩 \( M_y^{\text{ext}}\) 用于垂向载荷计算可根据需要定义。2. 车轮力坐标变换将车轮坐标系下的力转换到车辆坐标系x-y方向\[\begin{aligned}F_{xij}^{\text{veh}} F_{xij}\cos\delta_{ij} - F_{yij}\sin\delta_{ij} \\F_{yij}^{\text{veh}} F_{xij}\sin\delta_{ij} F_{yij}\cos\delta_{ij}\end{aligned}\]3. 三自由度动力学方程3.1 纵向运动\[m(\dot{u} - v r) \sum_{i,j} F_{xij}^{\text{veh}} F_x^{\text{ext}}\]展开\[m(\dot{u} - v r) \sum_{jl,r} \left( F_{xfj}\cos\delta_{fj} - F_{yfj}\sin\delta_{fj} \right) \sum_{jl,r} \left( F_{xrj}\cos\delta_{rj} - F_{yrj}\sin\delta_{rj} \right) F_x^{\text{ext}}\]3.2 横向运动\[m(\dot{v} u r) \sum_{i,j} F_{yij}^{\text{veh}} F_y^{\text{ext}}\]展开\[m(\dot{v} u r) \sum_{jl,r} \left( F_{xfj}\sin\delta_{fj} F_{yfj}\cos\delta_{fj} \right) \sum_{jl,r} \left( F_{xrj}\sin\delta_{rj} F_{yrj}\cos\delta_{rj} \right) F_y^{\text{ext}}\]3.3 横摆运动横摆角加速度由所有力对质心的力矩之和决定。根据ISO 8855坐标系力矩正方向与横摆角速度正方向一致左转为正。各力产生的力矩计算如下前轴侧向力通过转向变换后的y方向分量作用点位于 $(l_f, \pm t_f/2)$其绕质心的力矩为 $l_f \cdot (F_{yfj}^{\text{veh}})$因为侧向力沿y轴位置矢量的x分量产生力矩。后轴侧向力贡献为 $-l_r \cdot (F_{yrj}^{\text{veh}})$。前轴纵向力x方向分量作用点y坐标不同产生力矩为 $\frac{t_f}{2} F_{xfr}^{\text{veh}} - \frac{t_f}{2} F_{xfl}^{\text{veh}} \frac{t_f}{2}(F_{xfr}^{\text{veh}} - F_{xfl}^{\text{veh}})$。因为右轮y坐标为负左轮为正所以右轮纵向力产生正力矩左轮产生负力矩。后轴纵向力同理。代入坐标变换后的力\[\begin{aligned}I_z \dot{r} \ l_f \sum_{jl,r} \left( F_{xfj}\sin\delta_{fj} F_{yfj}\cos\delta_{fj} \right) \\- l_r \sum_{jl,r} \left( F_{xrj}\sin\delta_{rj} F_{yrj}\cos\delta_{rj} \right) \\ \frac{t_f}{2} \left[ \left( F_{xfr}\cos\delta_{fr} - F_{yfr}\sin\delta_{fr} \right) - \left( F_{xfl}\cos\delta_{fl} - F_{yfl}\sin\delta_{fl} \right) \right] \\ \frac{t_r}{2} \left[ \left( F_{xrr}\cos\delta_{rr} - F_{yrr}\sin\delta_{rr} \right) - \left( F_{xrl}\cos\delta_{rl} - F_{yrl}\sin\delta_{rl} \right) \right] \\ M_z^{\text{ext}}\end{aligned}\]4. 轮胎侧偏角计算每个车轮接地中心在车辆坐标系中的速度\[\begin{aligned}V_{xfl} u - \frac{t_f}{2} r, \quad V_{yfl} v l_f r \\V_{xfr} u \frac{t_f}{2} r, \quad V_{yfr} v l_f r \\V_{xrl} u - \frac{t_r}{2} r, \quad V_{yrl} v - l_r r \\V_{xrr} u \frac{t_r}{2} r, \quad V_{yrr} v - l_r r\end{aligned}\]转向角指车轮平面与车辆纵轴之间的夹角是由驾驶员通过转向系统或主动转向执行器施加的几何转角。它是模型的输入量用于坐标变换将轮胎力从车轮坐标系转换到车辆坐标系以及计算侧偏角时的参考基准。在动力学方程中转向角 δ 直接影响力的分解。- 前轮左右转向角 \(\delta_{fl}, \delta_{fr}\)- 后轮左右转向角 \(\delta_{rl}, \delta_{rr}\)对于常见后轮转向系统通常 \(\delta_{rl} \delta_{rr} \delta_r\)轮胎侧偏角指轮胎接地中心速度方向与车轮平面之间的夹角是由于轮胎收到侧向力发生弹性变形而产生的运动学角度通过轮胎力间接影响车辆运动\[\alpha_{ij} \arctan\left( \frac{V_{yij}}{V_{xij}} \right) - \delta_{ij}\]即\[\alpha_{fl} \arctan\left( \frac{v l_f r}{u - \frac{t_f}{2} r} \right) - \delta_{fl},\quad\alpha_{fr} \arctan\left( \frac{v l_f r}{u \frac{t_f}{2} r} \right) - \delta_{fr}\]\[\alpha_{rl} \arctan\left( \frac{v - l_r r}{u - \frac{t_r}{2} r} \right) \delta_{rl},\quad\alpha_{rr} \arctan\left( \frac{v - l_r r}{u \frac{t_r}{2} r} \right) \delta_{rr}\]5. 垂向载荷转移考虑纵向和横向加速度引起的动态载荷转移。首先计算前后轴总载荷考虑纵向加速度和外部力\[F_{zf} \frac{l_r mg - m a_x h - h F_x^{\text{ext}} l_r F_z^{\text{ext}} - M_y^{\text{ext}}}{l_f l_r}\]\[F_{zr} \frac{l_f mg m a_x h h F_x^{\text{ext}} l_f F_z^{\text{ext}} M_y^{\text{ext}}}{l_f l_r}\]其中 \( a_x \) 实车使用时需根据IMU传感器测量及校准至质心。然后计算左右轮分配考虑侧向加速度和侧倾力矩\[\begin{aligned}F_{zfl} \frac{F_{zf}}{2} \frac{-m a_y h - h F_y^{\text{ext}} - M_x^{\text{ext}}}{t_f} \\F_{zfr} \frac{F_{zf}}{2} - \frac{-m a_y h - h F_y^{\text{ext}} - M_x^{\text{ext}}}{t_f} \\F_{zrl} \frac{F_{zr}}{2} \frac{-m a_y h - h F_y^{\text{ext}} - M_x^{\text{ext}}}{t_r} \\F_{zrr} \frac{F_{zr}}{2} - \frac{-m a_y h - h F_y^{\text{ext}} - M_x^{\text{ext}}}{t_r}\end{aligned}\]其中 \( a_y\)实车使用时需根据IMU传感器测量及校准至质心。实际常规动态载荷估算过程中需考虑增加悬架阻尼和横向稳定杆相关的因素。6. 轮胎侧向力模型侧向力 \( F_{yij} \) 通常由轮胎模型根据侧偏角 \( \alpha_{ij} \) 和垂向载荷 \( F_{zij} \) 确定同时考虑纵向力耦合附着椭圆。常用模型包括- **线性模型**\( F_{yij} C_{ij}(\alpha_{ij}) \cdot \alpha_{ij} \)其中 \( C_{ij} \) 为侧偏刚度可能随载荷变化。- **魔术公式**\( F_{yij} D \sin(C \arctan(B\alpha_{ij} - E(B\alpha_{ij} - \arctan(B\alpha_{ij})))) \)参数由垂向载荷决定。- **考虑联合滑移**采用摩擦椭圆限制合力不超过附着极限。7. 状态空间形式定义状态向量 \( \mathbf{x} [u, v, r]^T \)控制输入包括各轮纵向力 \( F_{xij} \) 和各轮转向角 \( \delta_{ij} \)或视为已知参数。动力学方程可写为\[\begin{aligned}\dot{u} v r \frac{1}{m} \left( \sum_{i,j} (F_{xij}\cos\delta_{ij} - F_{yij}\sin\delta_{ij}) F_x^{\text{ext}} \right) \\\dot{v} -u r \frac{1}{m} \left( \sum_{i,j} (F_{xij}\sin\delta_{ij} F_{yij}\cos\delta_{ij}) F_y^{\text{ext}} \right) \\\dot{r} \frac{1}{I_z} \left[ l_f \sum_{j} (F_{xfj}\sin\delta_{fj} F_{yfj}\cos\delta_{fj}) - l_r \sum_{j} (F_{xrj}\sin\delta_{rj} F_{yrj}\cos\delta_{rj}) \right. \\\quad \left. - \frac{t_f}{2} \left( F_{xfl}\cos\delta_{fl} - F_{yfl}\sin\delta_{fl} - F_{xfr}\cos\delta_{fr} F_{yfr}\sin\delta_{fr} \right) \right. \\\quad \left. - \frac{t_r}{2} \left( F_{xrl}\cos\delta_{rl} - F_{yrl}\sin\delta_{rl} - F_{xrr}\cos\delta_{rr} F_{yrr}\sin\delta_{rr} \right) M_z^{\text{ext}} \right]\end{aligned}\]其中 \( F_{yij} \) 由轮胎模型和侧偏角确定。8. 简化形式小角度假设当所有转向角较小\( \cos\delta \approx 1, \sin\delta \approx \delta \)时可简化为**纵向**\[m(\dot{u} - v r) \sum_{i,j} F_{xij} - \sum_{j} (F_{yfj}\delta_{fj} F_{yrj}\delta_{rj}) F_x^{\text{ext}}\]**横向**\[m(\dot{v} u r) \sum_{i,j} F_{yij} \sum_{j} (F_{xfj}\delta_{fj} F_{xrj}\delta_{rj}) F_y^{\text{ext}}\]**横摆**\[\begin{aligned}I_z \dot{r} \ l_f \sum_{j} (F_{xfj}\delta_{fj} F_{yfj}) - l_r \sum_{j} (F_{xrj}\delta_{rj} F_{yrj}) \\- \frac{t_f}{2}(F_{xfl} - F_{xfr}) - \frac{t_r}{2}(F_{xrl} - F_{xrr}) M_z^{\text{ext}}\end{aligned}\]该简化形式便于实时控制但需注意在大转向角或大侧偏角时误差增大。9. 与测量值的结合实际应用中通常可以测量以下信号- 横摆角速度 \( r \)陀螺仪- 纵向加速度 \( a_x^{\text{meas}} \)加速度计- 侧向加速度 \( a_y^{\text{meas}} \)加速度计运动学关系\[a_x^{\text{meas}} \dot{u} - v r \text{偏差}\]\[a_y^{\text{meas}} \dot{v} u r \text{偏差}\]结合动力学方程可设计状态观测器如卡尔曼滤波器估计纵向速度 \( u \) 和横向速度 \( v \)进而得到质心侧偏角 \( \beta v/u \)。传感器偏差可通过在线估计补偿。10. 总结本文推导了考虑后轮转向的三自由度纵向、横向、横摆车辆动力学方程采用ISO 8855坐标系并完整考虑了每个车轮的纵向力、侧向力、转向角以及外部力和力矩。模型适用于四轮独立驱动/制动、后轮主动转向等先进底盘控制系统开发、仿真与状态估计。根据实际需求可选择完整形式或简化形式并结合轮胎模型和测量数据进行应用。---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------参考文献[1] 余志生. 汽车理论. 机械工业出版社.[2] Pacejka, H. B. Tire and Vehicle Dynamics. Butterworth-Heinemann.[3] ISO 8855:2011 Road vehicles — Vehicle dynamics and road-holding ability — Vocabulary.