切线有什么用来解决什么问题它是连接“静止的几何”与“运动的现实”之间最重要的桥梁。如何用“直线”去近似“曲线”从而研究瞬间的变化。1. 解决“瞬间速度”与“变化率”的问题微积分的诞生​面临的问题如果一个物体做变速运动比如汽车踩油门加速或者火箭发射我们很容易用 \frac{\text{总路程}}{\text{总时间}} 算出它的平均速度。但如果我们想知道某一个精确瞬间比如第 3.00 秒的瞬时速度该怎么算这时候时间差 \Delta t 趋近于 0公式变成了 \frac{0}{0}。​切线的解决方式如果我们把时间放横轴路程放纵轴画出一条运动曲线。曲线在某一点的切线斜率就是那个瞬间的“瞬时速度”。微积分的本质导数 f(x) 的几何意义就是切线的斜率。切线帮我们把极其复杂的“瞬时变化率”问题简化成了求一条直线的斜率问题。​在工程和科学计算中很多曲线方程极其复杂直接计算会消耗大量的计算资源甚至根本无法精确求解。​面临的问题比如计算 \sin(0.01) 或者 \sqrt{1.02}。​切线的解决方式在相近的局部区域内切线和曲线几乎是重合的。例如函数 y \sin(x) 在 x0 处的切线就是直线 y x。因此当 x 非常接近 0 时我们直接用切线代替曲线认为 \sin(x) \approx x。这就把复杂的三角函数计算变成了最简单的代数计算。这就是数值分析中著名的一阶泰勒展开线性近似。解决“方程求根”的问题牛顿迭代法​如果你有一个超级复杂的方程比如 x^5 3x^2 - 1 0你没有求根公式要怎么找到它的精确解​面临的问题寻找方程 f(x) 0 的交点根。​切线的解决方式牛顿迭代法​随便猜一个接近的起点 x_0。​做曲线在 x_0 处的切线看这条切线与 x 轴交于哪一点记为 x_1。​因为切线非常逼近曲线所以 x_1 往往比 x_0 更接近真实的根。​在 x_1 处继续作切线得到 x_2……不断重复这个过程切线会像磁铁一样极快地把我们拉向方程的真实解。这是现代计算机求解复杂工程方程、图形渲染、物理引擎中最常用的算法之一。4. 解决“最优化”问题机器学习中的梯度下降​在商业决策、机器学习和人工智能中我们经常需要寻找“最大利润”或“最小误差”即寻找曲线的极值点。​面临的问题如何顺着山坡找到山谷的最低点误差最小处​切线的解决方式切线的倾斜方向指明了“下山”的方向。​如果切线往右上方倾斜斜率为正说明往左走函数值会变小。​如果切线往右下方倾斜斜率为负说明往右走函数值会变小。​当我们走到山谷最低点时切线会变成水平的斜率为 0。这就是机器学习、神经网络如深度学习训练模型时最核心的算法——梯度下降法。解决“光的反射与聚焦”问题物理与工程​面临的问题手电筒的灯罩、太阳能灶、卫星天线抛物面是如何把四散的光线/信号精确聚集到一个点上的​切线的解决方式当光线射向一个弯曲的镜面时光线并不知道镜面是弯的。在落点那一瞬间光线遵循的反射定律入射角等于反射角是以该落点处的切线或切面为基准来进行反射的。通过计算曲线上每一点的切线方向工程师才能设计出完美的抛物面让所有的平行光线在反射后完美汇聚于焦点。​总结​切线就像是曲线的“单行道指南针”。曲线一直在弯曲、在改变方向而切线则是在某一个特定瞬间告诉你“如果这一刻你停止转弯沿着惯性直行你会朝哪个方向走走得有多快。” 掌握了切线人类才真正掌握了描述“运动与变化”的数学武器。