这句话的意思可以从**“多项式的次数”和“在无穷远处的增长速度”**两个角度来理解。简单来说它的意思是在x→∞x \to \inftyx→∞的过程中正弦/余弦函数的增长趋势极为微弱甚至比xxx的哪怕是最小的正次方比如x0.0001x^{0.0001}x0.0001还要微弱得多因此在比较谁“增长得更快”时它永远处于最弱势的地位。为了彻底理解我们可以把这句话拆解为以下三个部分1. 什么是“次数低”在数学中多项式里xxx的幂次决定了它的“次数”。x3x^3x3的次数是 3x2x^2x2的次数是 2x1x^1x1的次数是 1在求x→∞x \to \inftyx→∞的极限时“次数低”意味着**“在xxx变得无穷大时它的增长速度远远落后于高次数的项”**。比如我们说x2x^2x2的次数比x3x^3x3低原因就是lim⁡x→∞x2x30\lim_{x\to\infty} \frac{x^2}{x^3} 0x→∞lim​x3x2​0在分母x3x^3x3面前分子x2x^2x2渺小得像000一样。因此极限运算中用“低次数的项”除以“高次数的项”极限一定是000。2. 什么是“xxx的任意正次幂”正次幂指的是xax^axa其中a0a 0a0aaa是任意正数。它可以是很大的数比如x5x^5x5、x2x^2x2。也可以是很小的正数比如x0.1x^{0.1}x0.1甚至极小的数x0.0001x^{0.0001}x0.0001。尽管x0.0001x^{0.0001}x0.0001增长得极其缓慢但随着x→∞x \to \inftyx→∞它最终仍然会走向无穷大∞\infty∞。3. 为什么sin⁡\sinsin或cos⁡\coscos“比任意正次幂次数都要低”我们知道无论括号里是什么sin⁡(任何东西)\sin(\text{任何东西})sin(任何东西)的值始终在[−1,1][-1, 1][−1,1]之间波动它永远不会走向无穷大。现在我们让sin⁡(任何东西)\sin(\text{任何东西})sin(任何东西)去和xxx的任意正次幂xax^axaa0a 0a0作比较即做除法lim⁡x→∞sin⁡(任何东西)xa\lim_{x\to\infty} \frac{\sin(\text{任何东西})}{x^a}x→∞lim​xasin(任何东西)​由于分子被死死限制在−1-1−1到111之间而分母xax^axa会走向无穷大所以这个极限值必然等于 0哪怕分母只是x0.0001x^{0.0001}x0.0001极限也是000。因为对于任意一个哪怕再小的正数aaa上面这个极限都等于000所以在极限理论中我们就可以把sin⁡(任何东西)\sin(\text{任何东西})sin(任何东西)的“次数”看作是比xax^axa还要低的东西它的等效次数相当于≤0\le 0≤0。总结书上说这句话是为了给你提供一个直观的估算技巧在做x→∞x \to \inftyx→∞的极限题时如果发现式子里加减了sin⁡(任何东西)\sin(\text{任何东西})sin(任何东西)或cos⁡(任何东西)\cos(\text{任何东西})cos(任何东西)你完全可以直接把它们当成“次数比x0.0001x^{0.0001}x0.0001还要低的无足轻重的项”直接忽略掉因为它们根本无法影响那些真正带有xxx正次幂的项的增长。