您提出了一个非常经典且重要的问题。这个疑问涉及到数学上**“有界在−1-1−1到111之间”和“极限存在”**这两个概念的区别。简单来说“在−1-1−1到111之间”有界并不等于“极限存在”。我们可以从以下几个方面来理解为什么sin⁡(x)\sin(x)sin(x)在x→∞x \to \inftyx→∞时极限不存在1. 什么是“极限存在”在数学中说一个函数当x→∞x \to \inftyx→∞时“极限存在等于LLL”意味着随着xxx变得越来越大函数值f(x)f(x)f(x)必须无限趋近于某一个确定的、唯一的常数LLL。它需要“稳定”下来。极限存在的例子对于f(x)1xf(x) \frac{1}{x}f(x)x1​当xxx很大时它的值是0.1,0.01,0.001…0.1, 0.01, 0.001 \dots0.1,0.01,0.001…。它越来越稳定无限逼近000。所以它的极限存在就是000。极限不存在的例子对于f(x)sin⁡(x)f(x) \sin(x)f(x)sin(x)当xxx往无穷大走时它的值是0→1→0→−1→0→1→0→−1…0 \to 1 \to 0 \to -1 \to 0 \to 1 \to 0 \to -1 \dots0→1→0→−1→0→1→0→−1…它确实永远在[−1,1][-1, 1][−1,1]之间但它永远在上下蹦跶无法稳定在任何一个单独的数字上。你说极限是111吗不对因为紧接着它又变成了−1-1−1。你说极限是000吗也不对因为它马上又荡到了111。因为我们找不到任何一个唯一的常数作为它终点站的落脚点所以在数学上我们判定它的极限不存在。2. 一个形象的比喻极限存在像降落伞落地一个跳伞运动员从空中落下。随着时间推移他离地面的高度越来越近最终会无限逼近地面高度为000。这个过程是“收敛”的极限就是000。极限不存在像拍皮球或者荡秋千你在地上拍一个皮球皮球在高度000米到111米之间来回弹跳永远不停。如果我们问“当时间趋于无穷大时皮球最终停在哪个高度”你只能说“它还在弹一会儿是0.50.50.5米一会儿是0.80.80.8米一会儿是000米。它没有停在任何一个固定高度。”虽然皮球的高度被死死限制在[0,1][0, 1][0,1]之间有界但因为它没有“停下来”的趋势所以它的高度极限是不存在的。3. 对比α0\alpha 0α0和α0\alpha 0α0的区别我们可以把这两种情况放在一起对比就能看得更清楚了情况函数形式波动范围随着x→∞x \to \inftyx→∞的变化趋势极限是否存在α0\alpha 0α0sin⁡(x)\sin(x)sin(x)始终在[−1,1][-1, 1][−1,1]之间等幅波动。波动的幅度永远是222从−1-1−1到111无法收缩成一个点。不存在α0\alpha 0α0sin⁡(x)x\frac{\sin(x)}{x}xsin(x)​在[−1x,1x][-\frac{1}{x}, \frac{1}{x}][−x1​,x1​]之间衰减波动。虽然也在上下蹦跶但波动的幅度越来越小最终被压成了一条直线即000。存在极限为000总结您说的很对sin⁡(x)\sin(x)sin(x)确实永远在−1-1−1到111之间这在数学上叫做有界性。但极限要的是**“终点站”**。因为sin⁡(x)\sin(x)sin(x)在[−1,1][-1, 1][−1,1]之间永无止境地徘徊没有唯一的终点所以它的极限是不存在的。只有在分母上除以一个xαx^\alphaxαα0\alpha 0α0时才能用分母的无穷大把这个波动“压扁”到000极限才得以存在。