上一篇文章IIR 滤波器从零到设计系列Ⅰ从差分方程到 Z 变换-CSDN博客从一阶 IIR 差分方程出发介绍了延迟算子、Z 变换和传递函数但是得到传递函数只是第一步。接下来还会出现几个更加抽象的概念什么是零点和极点什么是 Z 平面为什么极点能够决定 IIR 是否稳定为什么数字频率位于单位圆上为什么单位圆上的点靠近极点滤波器增益就会变大零点和极点怎样共同决定幅频响应与相频响应本文仍然只围绕同一个一阶 IIR 展开把“零点、极点、稳定性、单位圆和频率响应”串成一条完整的逻辑链。一、从传递函数中找到零点和极点我们已经得到这个表达式含有。为了像普通多项式一样求根可以将分子和分母同时乘以 z现在传递函数成为一个普通分式其中1. 什么是零点使传递函数分子等于零的 z 称为零点。本例令解得因此这个滤波器有一个零点位于 Z 平面的原点。2. 什么是极点使传递函数分母等于零的 z称为极点。本例令解得当 z 越来越接近 0.75 时分母越来越接近零传递函数的绝对值会变得很大所以这里称为“极点”。因此本例的零极点是零点z 0 极点z 0.75二、什么是 Z 平面z是一个复数可以写成直角坐标形式其中是实部是虚部。把所有可能的 z 画在复平面上就得到 Z 平面横轴Re{z}实部 纵轴Im{z}虚部零极点图一般使用下面的符号○ 表示零点 × 表示极点本例中的 z0 和 z0.75 都是实数虚部为零因此它们都位于实轴上。图中还画了一条以原点为圆心、半径为 1 的圆它叫作单位圆。单位圆同时连接着数字频率和稳定性是理解 IIR 最重要的几何对象之一。这里要特别注意Z 平面的原点 z0 不等于“零频率”。数字零频率位于单位圆右端的 z1。三、数字频率与单位圆的关系数字频率通过映射到 Z 平面的单位圆上单位圆上点的角度对应频率。把代入 H(z)就是计算滤波器对频率的响应。Z 变换令右边正好是 h[n] 的 DTFT所以就是频率响应。而的模为 1因此这些取值点构成单位圆。AI解释选择性查看1. 从离散余弦开始离散余弦信号可以写成其中n 是整数样本序号是数字角频率的单位是。例如令则逐点计算可得n 0, 1, 2, 3, 4, ... x[n] 1, 0, -1, 0, 1, ...这表示样本序号每增加 1相位就增加也就是旋转。2. 用复指数同时表示正弦和余弦根据欧拉公式令得到因此复指数的实部是余弦复指数的虚部是正弦可以作为数字频率的数学表示。3. 相邻样本之间发生了什么令上一个样本为两者相比所以相邻样本之间的倍率为这个复数倍率具有两个性质它表示每经过一个采样点幅值保持不变同时在复平面上旋转弧度。4. 为什么必须是单位圆一般复数可以写成极坐标形式考虑离散指数序列代入其中控制幅值随 n 增长、衰减或保持不变控制振荡和旋转决定数字频率。如果 r1幅值会衰减。如果 r1幅值会增长。纯正弦的幅值既不增长也不衰减因此必须令于是所以单位圆不是随意指定为“频率圆”的。它来自一个自然要求纯频率分量的幅值不能随着样本序号增长或者衰减。5. 单位圆上的角度对应什么频率由可以得到ω 0 → z 1 → 直流 ω π/2 → z j → 每个样本旋转 90° ω π → z -1 → 每个样本正负交替 ω 3π/2 → z -j ω 2π → z 1 → 回到起点因此数字频率以为周期。对于实信号通常只看它对应从直流频率到奈奎斯特频率。Q1为什么只研究纯频率信号因为任意信号都可以通过傅里叶变换分解成许多不同频率的复指数之和因为对于线性时不变系统复指数信号输入滤波器以后输出频率不会改变只会改变幅值和相位这就是复指数最特殊的地方。例如输入频率是输出仍然是不会突然变成其他频率。滤波器只会对它放大或缩小|H(e^{jω})| 移动相位 ∠H(e^{jω})为什么知道纯频率的响应就能知道任意信号的响应因为任意信号都可以通过傅里叶变换分解成许多不同频率的复指数之和滤波器分别处理这些频率然后再把处理后的频率分量组合起来就得到最终输出。所以研究纯频率的目的就是先测量滤波器对每一个单独频率的处理能力再利用这些结果推断滤波器对任意复杂信号的处理结果。可以把它理解成给滤波器做“逐频率测试”输入直流 → 增益是多少 输入低频正弦 → 增益是多少 输入中频正弦 → 增益是多少 输入高频正弦 → 增益是多少把所有频率的测试结果连起来就是频率响应Q2:为什么实信号只看 0 到就够了首先离散频率以为周期因为所以只需要观察任意一个长度为的区间例如这是完整的一周期。但是对于实信号正频率和负频率之间存在共轭对称关系这意味着幅值满足相位满足例如和幅值完全相同相位互为相反数。因此对于实信号知道 0 到的频谱就可以推导出到 0 的频谱。负频率部分没有提供新的独立信息。所以复信号一般需要看 -π 到 π 实信号通常只看 0 到 π其中对应直流而对应奈奎斯特频率因此正好对应现实中的也就是从直流到采样系统能够无混叠表示的最高频率。就够了。四、极点为什么会出现在冲激响应中现在回到一阶 IIR给系统输入单位冲激并令初始状态当 n0 时从 n1 开始输入已经变为零方程只剩反馈于是所以冲激响应为其中 u[n]是单位阶跃序列用来表示这个冲激响应从 n0 开始。注意冲激响应中被反复乘方的 0.75正好就是传递函数的极点这不是巧合。在因果实现下一般的一阶系统对应的冲激响应为所以可以把一阶极点 p理解为系统内部的记忆每前进一个采样点需要再次乘上的复数倍率。五、极点为什么决定稳定性首先需要明确“稳定”是什么意思。数字滤波器常用的是 BIBO 稳定性也就是对任何有界输入系统的输出都必须保持有界。对于离散时间线性时不变系统BIBO 稳定等价于冲激响应绝对可和对于本例因此这个总和是有限值所以系统稳定。一般一阶极点为 p 时冲激响应包含。其结果由 |p| 决定。1. 极点在单位圆内部|p|1过去的影响不断衰减冲激响应绝对可和系统稳定。2. 极点位于单位圆上|p|1过去的影响不衰减冲激响应通常不绝对可和因此不满足 BIBO 稳定。3. 极点位于单位圆外|p|1过去的影响越来越大输出会发散系统不稳定。因此对于因果、有理并且已经约去公共因子的 IIR 系统所有极点严格位于单位圆内部 ------ 系统BIBO稳定六、复数极点的半径和角度分别表示什么一阶例子中的极点 p0.75 位于实轴。更一般的极点可能是复数那么这个式子非常重要极点半径 r|p| 决定振荡是衰减、保持还是增长极点角度决定振荡的数字角频率极点越靠近单位圆衰减越慢系统记忆越长极点越靠近单位圆上的某个角度那个频率附近越容易被增强。七、为什么把代入 H(z) 就得到频率响应给滤波器输入一个纯复正弦对于线性时不变系统稳定后的输出仍然保持同一个频率只是幅值和相位发生变化。因此可以写成其中 C 是一个复数|C| 表示该频率的幅值增益表示该频率的相位变化。把输入和输出代入差分方程利用并将等式两边除以整理所以而传递函数为令便有因此所以沿着单位圆计算 H(z)就是逐个询问滤波器数字频率输入后会被改变多少幅值和相位八、零极点怎样决定幅频响应将一个一般传递函数写成零极点形式其中是第 k 个零点是第 m 个极点K 是整体增益常数。在单位圆上令得到取绝对值这里的绝对值具有直接的几何意义。表示单位圆上的频率点到零点的距离。表示该频率点到极点的距离。因此频率点靠近零点 → 分子中的距离变小 → 该频率的增益变小频率点靠近极点 → 分母中的距离变小 → 该频率的增益变大可以把零点理解为“吸收附近的频率”把极点理解为“增强附近的频率”。九、用几何距离判断本文滤波器为什么是低通本例在单位圆上取幅值因为单位圆上所以幅值只取决于频率点到极点 0.75 的距离。1. 直流频率单位圆上的点为它到极点 0.75 的距离为因此直流分量以增益 1 通过。2. 中间频率单位圆上的点为它到极点的距离为因此3. 奈奎斯特频率单位圆上的点为它到极点的距离为因此三个频率对比如下数字频率单位圆上的点到极点的距离幅值增益10.251j1.250.2-11.750.143低频点 z1 离极点最近所以低频增益最大。频率越高单位圆上的频率点逐渐远离极点增益随之减小。这就是该系统具有低通特性的几何解释。十、零点如何消除特定频率如果一个零点刚好位于单位圆上的某个频率位置那么在处频率点到零点的距离为零于是这意味着该频率被完全消除。两个常见的位置是1. 零点位于 z1因为所以它消除也就是直流分量。2. 零点位于 z -1因为所以它消除也就是奈奎斯特频率。本文例子的零点位于原点 z0。单位圆上的任何点到原点的距离都为因此这个原点零点不会特别压制某一个数字频率。它主要是把含的传递函数改写为普通 z 多项式后体现出的零点。十一、零极点怎样决定相频响应零极点不仅决定幅值也决定相位。对于复数相乘时相位相加复数相除时相位相减。因此几何上可以从每个零点和极点分别向单位圆上的频率点画一条向量所有“零点到频率点”的向量角度相加所有“极点到频率点”的向量角度相减再加上整体增益 K 的相位最终得到该频率的相位响应。举例把单位圆上的频率点记为假设有一个零点和一个极点那么需要画两条向量注意向量方向都是起点零点或极点 终点频率点 q图中的两个角度分别是它们都以“向右的正实轴”为角度起点逆时针为正。因此可以总结为距离决定幅值 角度决定相位十二、串成一条逻辑链现在可以把本篇内容连起来差分方程↓ Z 变换传递函数 H(z)B(z)/A(z)↓ 求分子和分母的根零点与极点↓极点 p 出现在 pⁿ 形式的自然响应中↓极点半径决定衰减、不衰减或发散↓所有极点位于单位圆内因果 IIR 稳定↓ 令 zeʲω沿单位圆观察 H(z)↓到零极点的距离决定幅频响应到零极点的向量角度决定相频响应对于本文的一阶滤波器可以直接读出零点z 0 极点z 0.75 极点半径0.75 1 结果冲激响应按照 0.75ⁿ 衰减系统稳定 极点靠近单位圆右端 z 1 结果低频增益大高频增益小表现为低通十三、本篇最重要的公式1. 零点和极点B(z)0 的解零点 A(z)0 的解极点2. 一阶极点与冲激响应3. 因果有理 IIR 的稳定条件4. 单位圆与数字频率5. 零极点与幅频响应6. 零极点与相频响应下一阶段将从一阶 IIR 进入实际工程中最常用的二阶 IIR也就是 Biquad