第三章 · 进退加减循规而行卷首语向东走三步再向西走五步生活里的数量变化从来不是简单叠加而是正负相互抵消。3.3 奶茶店流水账周日午后暖融融的微风卷着奶茶甜润的香气漫过街边小店。林默领着苏晚与程远走进自家楼下的奶茶铺。周末客流平缓收银台的木质台面摊开厚厚一叠手写单据小票边角微微卷起夹杂着几页潦草的经营草稿。林默的母亲正擦拭操作台见到三人到来便笑着托付林默整理一周流水核算每日的经营结余。林默伸手挠了挠后脑勺眉宇间带着几分局促。昨天在操场学到的加减混合运算他依旧存有许多心结简单题目尚可应付一旦遇上带括号的式子符号的变换总能把他搅得头脑发昏。他拉开两把塑料椅请苏晚和程远坐下将一沓单据缓缓摊平在桌面上。“账本里收入记正数支出记负数这个我能分清。”林默指尖点过一张张单据语气带着一丝底气不足“可是一旦单据带上括号我就拿不准符号该怎么变动正好借真实账目把这一块彻底啃透。”苏晚拿起桌边的黑色水笔指尖抚平周一的营业单据。“周一售卖奶茶收入246元采购鲜奶、配料一共耗费128.5元写成算式便是246‑128.5。按照昨天我们得到的减法法则把减法转化为加上相反数就可以进行计算。”林默拿笔照抄算式笔尖悬停片刻反复回想操场上学到的内容再三确认符号之后才谨慎写下246(−128.5)246(-128.5)246(−128.5)。程远倚靠在窗边的木柜旁指尖缓缓摩挲印着饮品名称的价目表声音不疾不徐“单日账目只有单纯的加减尚且不难处理。但店里记录往期遗留欠款时习惯用括号标注负数结余。这类带有括号的混合算式符号层层嵌套稍不留神就会出错我们需要一套普适的去括号思路。”林默翻出夹在单据中间的周二结算草稿纸面清楚记录当日营收285元还要抵消上周留存的亏损27.4元完整列式写作285−(−27.4)285-(-27.4)285−(−27.4)。他盯着括号紧锁眉头笔尖停在纸面上迟迟落不下去内心不断拉扯拿不准括号内的数字究竟要不要变号。“我记得跑道上有一套路程的类比可是一落到纸上的括号我又混淆了。”他侧过头向苏晚求助。苏晚没有直接回答。她放下笔起身退到收银台侧面在奶茶店地面的地砖缝上划了两道印“你把奶茶店想象成跑道。收银台是原点进店方向为正出店方向为负。你站在285的位置——周二还没抵消亏损之前账面上有一笔向东285的路程。现在要‘去掉向西27.4’——你去掉一段向西的路等于补齐多少”林默走到地砖缝旁边站在进店方向大约第六块砖的位置然后转身往店内方向跨了半步“去掉向西就要补向东。”“把那个方向走实。”苏晚说。林默向东跨了两步每一步落在地砖缝上时都发出清晰的声响。他在第四块砖的位置停住看了一眼自己的脚然后回到桌边在“285−(−27.4)285-(-27.4)285−(−27.4)”上划了一道在旁边重写了一行“28527.428527.428527.4”。苏晚眼睛一亮飞快地在方格便签上记下这一现象。她又取出周三的单据作为对照当日营收196元平台发放补贴36.536.536.5列式为196(36.5)196(36.5)196(36.5)。“你看这两种情况的差别。”苏晚一边书写一边剖析“括号前面是加号去掉括号里面数字原本的符号保持不变可一旦括号前面是减号去掉括号之后括号内部每一个数的正负都必须翻转过来。”表1去括号法则对照表括号前符号去括号后内部符号变化奶茶店实例转化结果加号不变号196 (36.5)196 36.5减号−全变号285 − (−27.4)285 27.4本质规律去括号 批量化完成“减法转加法”林默把两张草稿并排摆在一起反复比对两道式子的变化。他没有像以前那样立刻在笔记上抄写条文而是重新看向自己刚才走完的那段地砖——从第六块退回第四块跨过两块砖方向相反但距离完全相等。像是一个具体的距离被固定在一个新的位置上两端都被他走过一遍。然后他拿起笔在两条规则旁边各画了一条数轴草图上面标出两个箭头——一条顺着方向一条反向补齐。他写完之后看了一遍没有急着翻页像是在等那两条线自己闭合。然后他低声说“刚才走的那段距离不是文具店、不是跑道就是这几块地砖——但和操场上走的一样距离没变方向反了。”程远靠在窗边依然没有说话但他翻了一页手里的书发出很轻的一声。林默没有注意到那个声音但苏晚注意到了。程远没有再核对也没有给出确认。他只是把书翻了过去像是一个不太容易被察觉的标点。程远看了一眼满桌的单据说了一句“只有整数与小数尚且简单现实的采购计量常常出现分数。我们不妨把整数、小数、分数融汇在同一道式子里看一看这套规则是否依旧成立。”林默拿起周四的流水记录全天营业额180元采购果粉支出721272\frac{1}{2}7221​元还有一笔客户退款账目记作−2413-24\frac{1}{3}−2431​。完整算式180−7212−(−2413)180-72\frac{1}{2}-(-24\frac{1}{3})180−7221​−(−2431​)铺展在纸上。看见分数、括号叠加他依旧有片刻迟疑。这一回他先在地砖上走了一遍从180的位置开始向西走了721272\frac{1}{2}7221​格停在一个位置然后“去掉向西241324\frac{1}{3}2431​”的动作让他补回了一段距离。每走完一步他就抬头看一眼桌上的算式像是在把纸上线条和脚下位置连在一起。然后他回到桌边一边对照脑海里的轨迹一边自主拆解。中途也曾写错一处符号但他很快察觉到矛盾——因为他走完那一段时终点位置在推算之前就已经被他踩过一遍了。他划掉修正继续通分完成运算。“原来括号变换不是孤立的新知识点。”林默低声自语“本质依旧是减去一个数等于加上它的相反数去括号不过是把这一步转化直接写在式子上。”苏晚听见他的感悟眼中露出赞许“你终于看透这一层关联不再把去括号当成一套孤立的新公式。”为了完整复盘一整周的核算三人把七天全部收支整合为一道长综合算式320−136.8(−42)285−(−27.4)196(36.5)−7212−(−2413)320-136.8(-42)285-(-27.4)196(36.5)-72\frac{1}{2}-(-24\frac{1}{3})320−136.8(−42)285−(−27.4)196(36.5)−7221​−(−2431​)表2奶茶店整周流水总表星期收支情况金额元算式中的表示—初始现金320320一采购鲜奶配料136.8−136.8二平台扣费42(−42) → −42二当日营收285285二收到上周未结清欠款27.4−(−27.4) → 27.4三当日营收196196三平台补贴36.5(36.5) → 36.5四采购果粉支出72.5−72½四客户退款抵消支出24.33−(−24⅓) → 24⅓面对这一道满是括号、小数、带分数交织的冗长算式换作从前林默早已望而生畏。但此刻他深吸一口气沉下心梳理解题顺序。第一步优先处理全部括号依照刚刚内化的逻辑逐个改写符号演算到中途有一瞬间他差点漏改一处括号后的符号脑海中立刻浮现地砖行走的轨迹瞬间警觉过来及时纠正。随后运用加法交换律、结合律对数字重新分组。演算途中遇到卡顿他不再第一时间开口求助而是退回最本源的模型——他看向地砖缝又看向自己刚才走过的那几个位置重新校准了方向接着独立走完整套运算流程最终算出整周的总盈亏。表3有理数加减混合运算去括号全流程表步骤操作内容关键规则示例截取算式片段第 1 步处理所有括号括号前为 不变号括号前为 −全变号285 − (−27.4) → 285 27.4第 2 步统一为纯加法算式减去一个数 加上它的相反数320 (−136.8) (−42) 285 27.4 ...第 3 步交换律、结合律分组简化正数一组负数一组分别求和(正数和) (负数和)演算间隙林默的母亲端来三杯冰镇柠檬奶茶放到台面。三人停下笔稍作休憩。杯壁凝着细密水珠林默握着玻璃杯回望刚刚满满几页草稿感慨万千。 “之前我总觉得加法、减法、去括号是一堆互不相关的条文要一条一条费力背诵。今天算完一整本账本我才明白所有的规则根源全来自同一件事正负代表相反的量。”林默语气笃定“跑道上的进退账本里的盈亏纸上算式的括号变形讲的完全是同一回事。去括号仅仅是把减法转加法这个过程做了书写上的简化。”程远闻言目光掠过满纸演算没有点评或补充只是把书翻过一页。林默不确定那是一个确认还是只是翻了一页。但他也不再需要确认了。夕阳穿过奶茶店的玻璃窗金色光线倾泻而下铺满散落的草稿纸。纸上一正一负的收支与地砖缝上来回往复的脚步完完全全重合在一起。收拾单据时苏晚整理本节全部知识点形成完整总结。林默认认真真把这部分誊写到自己的笔记本不只是抄写条文还在侧边空白处简短记下自己的理解去括号 批量完成减法转加法。旁边还画了两条地砖的连线一条顺向一条反向中间没有标号只留了两个等距的记号。经过奶茶店账本这一轮完整的实操打磨有理数加减混合、去括号这一部分在他心里已经不再是模糊易混的条文而是一套可以自主推演、可以自我校验的思维工具。练习与思考A组 · 基础无括号混合整数、小数1.56−23.4−1256-23.4-1256−23.4−122.−3518.6−9-3518.6-9−3518.6−93.102.5−68(−14.5)102.5-68(-14.5)102.5−68(−14.5)B组 · 单括号基础化简入门4.74−(21.3)74-(21.3)74−(21.3)5.−42−(−16.8)-42-(-16.8)−42−(−16.8)6.53(−27)53(-27)53(−27)7.−12.4(8.9)-12.4(8.9)−12.4(8.9)C组 · 整数、小数、分数中档综合8.120−4512−(−3214)120-45\frac{1}{2}-(-32\frac{1}{4})120−4521​−(−3241​)9.−662324.5−(1813)-66\frac{2}{3}24.5-(18\frac{1}{3})−6632​24.5−(1831​)10.90.2(−3015)−16.290.2(-30\frac{1}{5})-16.290.2(−3051​)−16.2林默在奶茶店地砖上模拟数轴行走从原点出发先向东走10步记为101010再执行“去掉向西走3步”对应算式(−(−3)-(-3)−(−3))。请画出数轴上的行走轨迹写出去括号之后的算式并说明最终停留的位置。D组 · 多括号拔高综合运算12.210−105.5(−36)78−(−42.5)64(2812)−1914−(−1014)210-105.5(-36)78-(-42.5)64(28\frac{1}{2})-19\frac{1}{4}-(-10\frac{1}{4})210−105.5(−36)78−(−42.5)64(2821​)−1941​−(−1041​)13.−86(34.8)−5213−(−15.2)4113−29-86(34.8)-52\frac{1}{3}-(-15.2)41\frac{1}{3}-29−86(34.8)−5231​−(−15.2)4131​−29E组 · 生活应用题奶茶店本周基础收支周一盈利156.5156.5156.5元周二采购原料支出681268\frac{1}{2}6821​元周三结清往期亏损抵消金额记作−2434-24\frac{3}{4}−2443​元周四线上平台补贴363636元。请列出完整带括号混合算式先去括号化简再简便计算本周最终净盈亏。本节完整总结核心根基所有加减混合算式均可借助减法法则a−ba(−b)a-ba(-b)a−ba(−b)统一转化为纯加法去括号本质就是批量完成“减法转化为加上相反数”。去括号两条固定规则① 括号前为加号去掉括号括号内数字符号保持不变② 括号前为减号去掉括号括号内全部数字正负翻转。简便计算方法去括号化简后利用加法交换律、结合律分组求和简化运算。生活统一逻辑数轴位移、古算筹盈亏、门店流水全部依靠正负表示相反量依靠加减、去括号完成总量核算。章末伏笔三人叠好厚厚的收支单据收好写满推导的笔记本准备离开奶茶店。林默指尖摩挲自己刚刚誊写完毕的笔记心中一片清明。此前模糊混淆的有理数加减混合运算、去括号经过账本实操、自我推演、自我校验已经真正被他吃透。往后再面对同类习题不必再犹疑不定可以依靠底层逻辑自主判断对错。身旁的程远依旧言语不多那份关于他的疑惑仍在林默心头萦绕但此刻林默更多的是内心的踏实。他已经掌握了一套思考符号问题的方法心中生出真切的期待准备迎接下一节有理数乘法的学习。