一、矩阵的基础知识
1. 矩阵的概念与运算
1）矩阵的定义
2）特殊矩阵
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同型矩阵：如果两个矩阵的行数和列数都相同，那么这两个矩阵是同型矩阵。
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矩阵相等：所有元素对应相等，A = B 。
3）矩阵的运算
- A + B = B + A
- (A + B)C = AC + BC
- A(B + C) = AB + AC
- A(BC) = (AB)C
- k(A + B) = kA + kB
- (kA)(lB) = klAB
- AE = A , EA = A
- OA = O , AO = O
- 矩阵乘法没有交换律，一般情况 AB ≠ BA
- 矩阵乘法没有消去律
- AB = O 不能推出 A = O 或 B = O
2. 矩阵的常考类型
1）转置矩阵 AT
将 A 的行与列互换后所得的矩阵。
公式：(AB)T = BTAT ；(A + B)T = AT + BT
2）伴随矩阵 A*
① 伴随矩阵的定义：行列式 |A| 的每个元素 aij 的代数余子式 Aij 所构成的如下的矩阵：
② 伴随矩阵的公式：
- (AB)* = B* A*
- (A + B)* ≠ A* + B*
- (A*)-1 = (A-1)*
- (AT)* = (A*)T
- A A* = A* A = |A|E
③ 伴随矩阵行列式：|A*| = |A|n-2
④ 二阶矩阵的伴随矩阵：主对调，副反号，得伴随
⑤ 伴随矩阵的秩：设 An×n（A 是 n 阶矩阵，n ≥ 2），则：
- 当 r(A) = n 时，有 r(A*) = n
- 当 r(A) = n-1 时，有 r(A*) = 1
- 当 r(A) < n-1 时，有 r(A*) = 0
若 |A| = 0 时，A A* = A* A = 0，则立即有：
I、r(A) + r(A*) ≤ n（A 是不可逆 n 阶矩阵）
II、A 的列向量均为 A* x = 0 方程组的解且 A* 的列向量均为 Ax = 0 方程组的解
⑥ 伴随矩阵的特征值和特征向量：
- A 是 n 阶方阵，若 r(A) = n 且 A 的特征值为 λ1 , λ2 , … , λn ，则 A* 的特征值为 |A|/λ1 , |A|/λ2 ,…, |A|/λn
- A 是 n 阶方阵，若 r(A) = n-1 ，则 A* 的特征值为 tr(A*) , 0 , 0 , … , 0（一共 n-1 个 0）
当 tr(A*) = 0 时， A* 没有 n 个线性无关的特征向量，不可对角化
当 tr(A*) ≠ 0 时， A* 有 n 个线性无关的特征向量，可对角化 - A 是 n 阶方阵，若 r(A) < n-1 ，则 A* = O ， A* 的特征值为 n 个 0
⑦ 伴随矩阵相似及相似对角化：
- 若 A ~ B ，则 A* ~ B*
- 若 A 可以相似对角化，则 A* 也可以相似对角化
⑧ 其他结论：
- 若 A 的各行之和均为 k（k ≠ 0），则 A* 的各行之和均为 |A|/k
- 设 A 是非零矩阵，若 A* = AT ，则 A 是正交矩阵且 |A| = 1
设 A 是非零矩阵，若 A* = -AT ，则 A 是正交矩阵且 |A| = -1
3）可逆矩阵 A-1
① 可逆矩阵的定义：设 A 是 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B ，使得 AB = BA = E ，则称 B 是 A 的逆矩阵，记为 B = A-1 。
② 可逆的充要条件：设 A 是 n 阶矩阵，则：
A 可逆 ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ r(A) = n ⇔ A 的列（行）向量组线性无关 ⇔ A 与单位矩阵等价 ⇔ 0 不是 A 的特征值 ⇔ Ax = 0 仅有零解 ⇔ Ax = b 有唯一解。
r(A) = n ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ A-1 存在；
r(A) < n ⇔ |A| = 0 ⇔ A-1 不存在。
③ 求逆矩阵的方法：
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定义法：A 是方阵，若 AB = E ，则 A , B 互为逆矩阵
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初等行变换：
求 A-1 ，则 (A|E) —初等行变换→ (E|A-1)
求 A-1B ，则 (A|B) —初等行变换→ (E|A-1B) -
用伴随公式：A-1 = A* / |A|
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用分块矩阵公式
④ 可逆的公式：
- (A-1)-1 = A
- (kA)-1 = (1/k)A-1（k ≠ 0）
- (AB)-1 = B-1A-1
- (A + B)-1 ≠ A-1 + B-1
- (A-1)T = (AT)-1
- |A-1| = 1/|A|
- (An)-1 = (A-1)n
4）对称矩阵与反对称矩阵
对称矩阵：AT = A ；反对称矩阵：AT = -A 。
5）正交矩阵（方阵）
① 定义：满足 AAT = ATA = E 的矩阵 A 称为正交矩阵
