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网站营销外包哪家专业_幼儿园主题网络图设计_护肤品推广软文_关键词如何快速排名

时间:2025/7/11 0:46:56来源:https://blog.csdn.net/u013600306/article/details/144122782 浏览次数:1次
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关于功率谱密度(Power Spectral Density, PSD),有的刊物说是自相关函数的傅里叶变换,有的刊物说是协方差函数的傅里叶变换。这两种说法当随机过程的均值为零时是等价的。然而当随机过程的均值不为零时呢?真是闹心。我很难相信一个概念的定义可以这么含糊。

自相关函数和协方差函数

假设广义平稳随机过程 X ( t ) X(t) X(t)的均值为 μ X \mu_X μX,则有:

  1. 自相关函数 R X ( τ ) R_X(\tau) RX(τ)
    R X ( τ ) = E [ X ( t ) X ∗ ( t + τ ) ] R_X(\tau) = E[X(t)X^*(t+\tau)] RX(τ)=E[X(t)X(t+τ)]

  2. 协方差函数 C X ( τ ) C_X(\tau) CX(τ)
    C X ( τ ) = E [ ( X ( t ) − μ X ) ( X ( t + τ ) − μ X ) ∗ ] C_X(\tau) = E[(X(t) - \mu_X)(X(t+\tau) - \mu_X)^*] CX(τ)=E[(X(t)μX)(X(t+τ)μX)]

自相关函数和协方差函数的关系

对于广义平稳随机过程,均值 μ X \mu_X μX是常数,因此自相关函数和协方差函数之间的关系可以表示为:
C X ( τ ) = R X ( τ ) − ∣ μ X ∣ 2 C_X(\tau) = R_X(\tau) - |\mu_X|^2 CX(τ)=RX(τ)μX2

功率谱密度

  1. 自相关函数的傅里叶变换
    S X ( f ) = F { R X ( τ ) } = ∫ − ∞ ∞ R X ( τ ) e − j 2 π f τ d τ S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau SX(f)=F{RX(τ)}=RX(τ)ej2πfτdτ

  2. 协方差函数的傅里叶变换
    S X ( f ) = F { C X ( τ ) } = ∫ − ∞ ∞ C X ( τ ) e − j 2 π f τ d τ S_X(f) = \mathcal{F}\{C_X(\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty} C_X(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau SX(f)=F{CX(τ)}=CX(τ)ej2πfτdτ

由于 C X ( τ ) = R X ( τ ) − ∣ μ X ∣ 2 C_X(\tau) = R_X(\tau) - |\mu_X|^2 CX(τ)=RX(τ)μX2,我们可以将 C X ( τ ) C_X(\tau) CX(τ)代入傅里叶变换公式:
S X ( f ) = F { R X ( τ ) − ∣ μ X ∣ 2 } S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau) - |\mu_X|^2\} SX(f)=F{RX(τ)μX2}

根据线性性质,傅里叶变换可以分开计算:
S X ( f ) = F { R X ( τ ) } − F { ∣ μ X ∣ 2 } S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} - \mathcal{F}\{|\mu_X|^2\} SX(f)=F{RX(τ)}F{μX2}

因为 ∣ μ X ∣ 2 |\mu_X|^2 μX2是一个常数,其傅里叶变换是一个冲激函数 δ ( f ) \delta(f) δ(f)乘以该常数:
F { ∣ μ X ∣ 2 } = ∣ μ X ∣ 2 δ ( f ) \mathcal{F}\{|\mu_X|^2\} = |\mu_X|^2 \delta(f) F{μX2}=μX2δ(f)

因此,最终的功率谱密度可以表示为:
S X ( f ) = F { R X ( τ ) } − ∣ μ X ∣ 2 δ ( f ) S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} - |\mu_X|^2 \delta(f) SX(f)=F{RX(τ)}μX2δ(f)

解释

  • 自相关函数的傅里叶变换 S X ( f ) = F { R X ( τ ) } S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\} SX(f)=F{RX(τ)}给出了整个信号的功率谱密度,包括直流分量(即均值的平方)。
  • 协方差函数的傅里叶变换 S X ( f ) = F { C X ( τ ) } S_X(f) = \mathcal{F}\{C_X(\tau)\} SX(f)=F{CX(τ)}给出了去除直流分量后的功率谱密度,即去除了均值影响的功率谱密度。

结论

当随机过程的均值不为零时,自相关函数的傅里叶变换包含了直流分量,而协方差函数的傅里叶变换去除了直流分量。

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