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一、阴影映射技术基础

1.1 阴影映射的核心原理

1.1.1 深度测试与阴影生成

阴影映射（Shadow Mapping）是一种基于深度比较的阴影渲染技术，其核心思想分为两步：

1. ​从光源视角渲染深度贴图：将场景渲染到光源的深度缓冲区，生成阴影贴图（Shadow Map）​。
2. ​从摄像机视角进行深度比较：在正常渲染时，将像素点转换到光源空间，比较其深度值与阴影贴图记录的深度值，决定是否处于阴影中。

数学上，阴影可见性计算可表示为：
$$V(p)=\{\begin{array}{ll}0& \text{若 }{d}_{\text{fragment}}>d_{\text{shadow map}}\\ 1& \text{否则}\end{array}$$
其中 $d_{\text{fragment}}$ 是当前片元到光源的深度，$d_{\text{shadow map}}$ 是阴影贴图中存储的最近深度。

1.1.2 关键问题：透视走样（Perspective Aliasing）

传统阴影映射在以下场景中表现不佳：

• ​近处物体：阴影贴图分辨率不足导致锯齿（锯齿状阴影边缘）
• ​远处物体：相同纹理像素覆盖过大区域，导致模糊（过度稀疏采样）

根本原因在于透视投影下深度分布的非线性，使得固定分辨率的阴影贴图无法均匀分配精度。

1.2 阴影映射的数学基础

1.2.1 光源空间变换

1. ​模型-光源视图矩阵（Light View Matrix）​：将物体从世界坐标系变换到光源视角的视图空间。
2. ​光源投影矩阵（Light Projection Matrix）​：通常使用正交投影（方向光）或透视投影（点光源）。

组合后的变换矩阵为：
$$M_{\text{light}}=M_{\text{projection}}\times M_{\text{view}}$$

1.2.2 深度值非线性分布

在透视投影中，深度值 $z$ 的归一化计算公式为：
$$z_{\text{ndc}}=\frac{f+n}{f-n}+\frac{2fn}{f-n}\cdot \frac{1}{z}$$
其中 $n$ 和 $f$ 为近、远平面，导致深度缓冲区中近处精度高、远处精度低。

1.3 阴影映射的局限性

1.3.1 自阴影问题（Shadow Acne）

由于深度贴图分辨率和浮点精度限制，表面可能错误地判定自身处于阴影中。常用解决方案：

• ​深度偏移（Depth Bias）​：添加固定或斜率缩放偏移量：
  $$d_{\text{adjusted}}=d_{\text{fragment}}+\text{bias}$$

1.3.2 Peter-Panning 现象

过度使用深度偏移会导致物体与阴影分离（“漂浮”效果）。需在视觉质量与偏移量之间权衡。

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二、级联阴影映射（CSM）理论

2.1 CSM 的设计动机

2.1.1 动态分辨率分配

将摄像机视锥体（View Frustum）按深度分割为多个子区域（级联），每个级联独立生成阴影贴图：

• ​近层级：高分辨率贴图，捕捉细节
• ​远层级：低分辨率贴图，节省资源

2.1.2 视锥体分割策略

常用的分割方式包括：

1. ​均匀分割（Uniform Split）​：线性划分深度范围
   $$z_i=n+\frac{i}{k}(f-n)$$
2. ​对数分割（Logarithmic Split）​：适应透视分布
   $$z_i=n{\left(\frac{f}{n}\right)}^{i/k}$$
3. ​实用分割（Practical Split）​：混合线性与对数分割

2.2 CSM 的算法流程

2.2.1 视锥体分割与层级计算

1. 将摄像机视锥体分割为 $k$ 个层级（通常 $k=4$）
2. 对每个层级计算其包围盒（AABB）

2.2.2 光源投影矩阵优化

为每个层级生成紧贴包围盒的正交投影矩阵，最大化利用阴影贴图像素：

1. 将层级包围盒变换到光源空间
2. 计算包围盒在光源空间的最小/最大坐标
3. 构建正交投影矩阵：
   $$M_{\text{ortho}}=[\begin{array}{cc}\frac{2}{r-l}& 0\\ 0& \genfrac{}{}{0ex}{}{}{t-b}\\ 0& \\ 0& \end{array}$$