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步骤1：问题定义

题目要求编写一个算法来判断一个数 n 是否是快乐数。

• 输入：一个正整数 n。
• 输出：布尔值 true 或 false，表示 n 是否是快乐数。
• 计算问题性质：快乐数的定义涉及到数字替换和平方和的迭代过程。
• 限制：输入 n 的范围是 1 <= n <= 2^31 - 1。
• 潜在的边界条件：
  • 当 n 为1时，直接返回 true。
  • 当迭代过程中出现重复的数字时，表示进入循环，应返回 false。

步骤2：算法设计

算法步骤如下：

1. 定义一个函数 getNext(n)，用于计算 n 的下一个数字，即它的每个位置上的数字的平方和。
2. 使用快慢指针的方法来判断是否会出现循环。快指针每次移动两步，慢指针每次移动一步。如果快指针或其下一个数字为1，则 n 是快乐数；如果快慢指针相遇，则表示出现循环，n 不是快乐数。

• 时间复杂度：假设每次计算 getNext(n) 的时间复杂度为 O(1)，那么算法的时间复杂度为 O(log n)，因为每次迭代都会减少数字的位数。
• 空间复杂度：O(1)，因为只需要常数级别的额外空间。

步骤3：C++代码实现

步骤4：算法启发

• 算法的优化：可以通过哈希表来检测循环，但会增加空间复杂度。使用快慢指针的方法可以在不增加空间复杂度的前提下检测循环。
• 效率提升：在计算 getNext(n) 时，可以通过提前终止循环来提升效率。
• 处理大规模数据集：此算法对于大规模数据集同样有效，因为其时间复杂度较低。