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8.1 向量及其线性运算

一、向量的概念

客观世界中，有这样一类量，它们既有大小，又有方向，这一类量叫做 向量（或 矢量）。

在数学上，常用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。以 $A$ 为起点、$B$ 为终点的有向线段所表示的向量记作 $\overrightarrow{AB}$ 。有时也用一个黑体字母（书写时，在字母上面加箭头）来表示向量，例如 $\mathbf{a},\mathbf{r},\mathbf{v},\mathbf{F}$ 或 $\vec{a},\vec{r},\vec{v},\vec{F}$ 等。

由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，因此在数学上只研究与起点无关的向量，并称这种向量为 自由向量 （以后简称 向量），即只考虑大小和方向，而不论它的起点在什么地方。当遇到与起点有关的的向量时，可在一般原则下作特别处理。

由于是自由向量，如果两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的大小相等，且方向相同，就说向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 是相等的，记作 $\mathbf{a}=\mathbf{b}$ 。这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。

向量的大小叫做向量的模。向量 $\overrightarrow{AB},\mathbf{a}$ 和 $\vec{a}$ 的模依次记作 $|\overrightarrow{AB}|,|\mathbf{a}|$ 和 $|\vec{a}|$ 。模等于1的向量叫做单位向量。模等于0的向量叫做零向量，记作 $0$ 或 $\vec{0}$ 。零向量的起点和终点重合，它的方向可以看做是任意的。

设有两个非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ ，任取空间一点 $O$ ，作 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$ ，规定不超过 $\pi$ 的 $\angle AOB$ （设 $\phi =\angle AOB,0⩽\phi ⩽\pi$）称为向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角，记作 $(\widehat{\mathbf{a},\mathbf{b}})$ 或 $(\widehat{\mathbf{b},\mathbf{a}})$，即 $(\widehat{\mathbf{a},\mathbf{b}})=\phi$ 。如果向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 中有一个是零向量，规定它们的夹角可以在 0 到 $\pi$ 之间取任意值。

如果 $(\widehat{\mathbf{a},\mathbf{b}})=0或\pi$ ，就称向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行，记作 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$ 。如果 $(\widehat{\mathbf{a},\mathbf{b}})=\frac{\pi }{2}$ ，就称向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 垂直，记作 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$ 。由于零向量与另一向量夹角可以在 0 到 $\pi$ 之间取任意值，因此可以认为零向量与任何向量都平行，也可以认为零向量与任何向量都垂直。

当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上。因此，两向量平行，又称两向量共线。

设有 $k(k⩾3)$ 个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果 $k$ 个终点和公共起点在一个平面上，就称这 $k$ 个向量共面。

向量的线性运算

1.向量的加减法

向量的加法运算规定如下：
设有两个向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ ，任取一点 $A$ ，作 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}$ ，再以 $B$ 为起点，作 $\overrightarrow{BC}=\mathbf{b}$ ，连接 $AC$ ，那么向量 $\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$ 称为向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的和，记作 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ ，即

$$\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$$

上述作出两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则。

力学上有求合力的平行四边形法则，仿此，我们也有向量的平行四边形法则。这就是：当向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 不平行时，作 $\overrightarrow{AB}=\mathbf{a},\overrightarrow{AD}=\mathbf{b}$，以 $AB,AD$ 为边作一平行四边形$ABCD$ ，连接对角线 $AC$ ，显然向量 $\overrightarrow{AC}$ 即等于向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的和 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$。

向量的加法符合下列运算规律：

交换律 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$ ;
结合律 $(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$ .

设 $\mathbf{a}$ 为一向量，与 $\mathbf{a}$ 的模相同而方向相反的向量叫做 $\mathbf{a}$ 的负向量，记作 $-\mathbf{a}$。由此，规定两个向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的差

$$\mathbf{b}-\mathbf{a}=\mathbf{b}+(-\mathbf{a})$$

即把向量 $-\mathbf{a}$ 加到向量 $\mathbf{b}$ 上，便得 $\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 的差 $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 。

特别地，当 $\mathbf{b}=\mathbf{a}$ 时，有

$$\mathbf{a}-\mathbf{a}=\mathbf{a}+(-\mathbf{a})=0$$

显然，任给向量 $\overrightarrow{AB}$ 及点 $O$ ，有

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$

因此，若把向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 移到同一起点 $O$ ，则从 $\mathbf{a}$ 的终点 $A$ 向 $\mathbf{b}$ 的终点 $B$ 所引的向量 $\overrightarrow{AB}$ 便是向量 $\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 的差 $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 。

由于三角形两边之和大于第三边，有

$$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|⩽|\mathbf{a}|+|\mathbf{a}|及|\mathbf{a}-\mathbf{b}|⩽|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$$

其中等号在 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 同向或反向时成立。

2.向量与数的乘法

向量 $\mathbf{a}$ 与实数 $\lambda$ 的乘积记作 $\lambda \mathbf{a}$ ，规定 $\lambda \mathbf{a}$ 是一个向量，它的模

$$|\lambda \mathbf{a}|=|\lambda ||\mathbf{a}|，$$

它的方向当 $\lambda >0$ 时与 $\mathbf{a}$ 相同，当 $\lambda <0$ 时与 $\mathbf{a}$ 相反。

当 $\lambda =0$ 时，$|\lambda \mathbf{a}|=0$ ，即 $\lambda \mathbf{a}$ 为零向量，这时它的方向可以是任意的。

特别地，当 $\lambda =\pm 1$ 时，有

$$1\mathbf{a}=a,(-1)\mathbf{a}=-\mathbf{a}$$

向量与数的乘积符合下列运算规律：

（1）结合律 $\lambda (\mu \mathbf{a})=\mu (\lambda \mathbf{a})=(\lambda \mu )\mathbf{a}$ 。
（2）分配律
$$\begin{gathered} (\lambda +\mu )\mathbf{a}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{a}, \\ \lambda (\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda \mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}. \end{gathered}$$

向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算。

设 ${\mathbf{e}}_{\mathbf{a}}$ 表示与非零向量 $\mathbf{a}$ 同方向的单位向量，那么按照向量与数的乘积的规定，由于 $|\mathbf{a}|>0$ ，所以 $|\mathbf{a}|{\mathbf{e}}_{\mathbf{a}}$ 与 ${\mathbf{e}}_{\mathbf{a}}$ 的方向相同，即 $|\mathbf{a}|{\mathbf{e}}_{\mathbf{a}}$ 与 $\mathbf{a}$ 的方向相同。又因 $|\mathbf{a}|{\mathbf{e}}_{\mathbf{a}}$ 的模是

$$|\mathbf{a}||{\mathbf{e}}_{\mathbf{a}}|=|\mathbf{a}|\cdot 1=|\mathbf{a}|,$$

即 $|\mathbf{a}|{\mathbf{e}}_{\mathbf{a}}$ 与 $\mathbf{a}$ 的模也相同，因此

$$\mathbf{a}=|\mathbf{a}|{\mathbf{e}}_{\mathbf{a}}.$$

我们规定，当 $\lambda \ne 0$ 时，$\frac{\mathbf{a}}{\lambda }=\frac{1}{\lambda }\mathbf{a}$ ，上式又可写成

$$\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}={\mathbf{e}}_{\mathbf{a}}.$$

这表示一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量。

定理1 设向量 $\mathbf{a}\ne 0$ ，则向量 $\mathbf{b}$ 平行于 $\mathbf{a}$ 的充分必要条件是：存在唯一的实数 $\lambda$ ，使 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$ .

定理1是建立数轴的理论依据。我们知道，给定一个点、一个方向及单位长度，就确定了一条数轴。由于一个单位向量既确定了方向，又确定了单位长度，因此，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴。设点 $O$ 及单位向量 $\mathbf{i}$ 确定了数轴 $Ox$ ，对于轴上任一点 $P$ ，对应一个向量 $\overrightarrow{OP}$ ，由于 $\overrightarrow{OP}\parallel \mathbf{i}$ ，根据定理1，必有唯一实数 $x$ ，使 $\overrightarrow{OP}=x\mathbf{i}$ （实数 $x$ 叫做轴上有向线段 $\overrightarrow{OP}$ 的值），并知 $\overrightarrow{OP}$ 与实数 $x$ 一一对应。于是

$$点P⟷向量\overrightarrow{OP}=x\mathbf{i}⟷实数x$$

从而轴上的点 $P$ 与实数 $x$ 有一一对应的关系。据此，定义实数 $x$ 为轴上点 $P$ 的坐标。

由此可知，轴上点 $P$ 的坐标为 $x$ 的充分必要条件是

$$\overrightarrow{OP}=x\mathbf{i}.$$

三、空间直角坐标系

在空间取一定点 $O$ 和三个两两垂直的单位向量 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ ，就确定了三条都以 $O$ 为原点的两两垂直的数轴，依次记为 $x$ 轴（横轴）、$y$ 轴（纵轴）、$z$ 轴（数轴），统称坐标轴。它们构成一个空间直角坐标系，称为 $Oxyz$ 坐标系或 $[O;\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}]$ 。通常吧 $x$ 轴和 $y$ 轴配置在水平面上，而 $z$ 轴则是铅垂线；它们的正向通常符合右手规则，即以右手握住 $z$ 轴，当右手的四个手指从 $x$ 轴正向以 $\frac{\pi }{2}$ 角度转向 $y$ 轴正向时，大拇指的指向就是 $z$ 轴的正向，如下图所示

三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面称为坐标面。$x$ 轴及 $y$ 轴所确定的坐标面叫做 $xOy$ 面，另两个由 $y$ 轴及 $z$ 轴和 $z$ 轴及 $x$ 轴所确定的坐标面，分别叫做 $yOz$ 面及 $zOx$ 面。三个坐标面把空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限。其中，在 $xOy$ 面上方且 $yOz$ 面前方、$zOx$ 面右方的那个卦限叫做第一卦限，其他第二、第三、第四卦限，在 $xOy$ 面的上方，按逆时针方向确定。第五至第八卦限，在 $xOy$ 面下方，由第一卦限之下的第五卦限，按逆时针方向确定，这八个卦线的分别用字母 $Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ$表示。

任给向量 $\mathbf{r}$ ，有对应点 $M$ ，使 $\overrightarrow{OM}=\mathbf{r}$ 。以 $OM$ 为对角线、三条坐标轴为棱长作长方体 $RHMK-OPNQ$ ，有
$$\mathbf{r}=\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR},$$

设 $\overrightarrow{OP}=x\mathbf{i},\overrightarrow{OQ}=y\mathbf{j},\overrightarrow{OR}=z\mathbf{k}$ ，则

$$\mathbf{r}=\overrightarrow{OM}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}.$$

上式称为向量 $\mathbf{r}$ 的坐标分解式，$x\mathbf{i},y\mathbf{j}和z\mathbf{k}$ 称为向量 $\mathbf{r}$ 沿三个坐标轴方向的分向量。

显然，给定向量 $\mathbf{r}$ ，就确定了点 $M$ ，及 $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR}$ 三个分向量，进而确定了 $x,y,z$ 三个有序数；反之，给定三个有序数 $x,y,z$ ，也就确定了向量 $\mathbf{r}$ 与点 $M$ 。于是点 $M$ 、向量 $\mathbf{r}$ 与三个有序数 $x,y,z$ 之间有一一对应的关系

$$M⟷\mathbf{r}=\overrightarrow{OM}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}⟷(x,y,z)$$

据此，定义：有序数 $x,y,z$ 称为向量 $\mathbf{r}$ （在坐标系 $Oxyz$ 中）的坐标，记作 $\mathbf{r}=(x,y,z)$ ；有序数 $x,y,z$ 也称为点 $M$ （在坐标系 $Oxyz$ 中）的坐标，记作 $M(x,y,z)$ 。

向量 $\mathbf{r}=\overrightarrow{OM}$ 称为点 $M$ 关于原点 $O$ 的向径。。上述定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标。记号 $(x,y,z)$ 既表示点 $M$ 也表示向量 $\overrightarrow{OM}$ 。

坐标面和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征。例如：如果点 $M$ 在 $yOz$ 面上，那么 $x=0$ ；同样，在 $zOx$ 面上的点，有 $y=0$ ；在 $xOy$ 面上的点，有 $z=0$ 。如果点 $M$ 在 $x$ 轴上，那么 $y=z=0$ ；同样，在 $y$ 轴上的点，有 $z=x=0$ ；在 $z$ 轴上的点，有 $x=y=0$ 。若点 $M$ 为原点，则 $x=y=z=0$ 。

四、利用坐标作向量的线性运算

设 $\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$ ，$\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$ ，有

$$\begin{gathered} \mathbf{a}+\mathbf{b}=(a+x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z), \\ \mathbf{a}-\mathbf{b}=(a+x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z), \\ \lambda \mathbf{a}=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z). \end{gathered}$$

当向量 $\mathbf{a}\ne 0$ 时，向量 $\mathbf{b}\parallel \mathbf{a}$ 相当于 $\mathbf{b}=\lambda \mathbf{a}$ ，坐标表示为

$$(b_x,b_y,b_z)=\lambda (a_x,a_y,a_z)$$

也就相当于向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 对应的坐标成比例

$$\frac{b_x}{a_x}=\frac{b_y}{a_y}=\frac{b_z}{a_z}$$

五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模与两点间的距离公式

设向量 $\mathbf{r}=(x,y,z)$ ，则向量模的坐标表示式为

$$|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

设有点 $A(x_1,y_1,z_1)$ 和点 $B(x_2,y_2,z_2)$ ，则 $A,B$ 两点间的距离为

$$|AB|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$$

2.方向角与方向余弦

非零向量 $\mathbf{r}$ 与三条坐标轴的夹角 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 称为向量 $\mathbf{r}$ 的方向角。由下图可知，设 $\overrightarrow{OM}=\mathbf{r}=(x,y,z)$ ，由于 $x$ 是有向线段 $\overrightarrow{OP}$ 的值，$MP$ 与 $OP$ 垂直，故

$$\cos \alpha =\frac{x}{|OM|}=\frac{x}{|\mathbf{r}|},$$

类似可知

$$\cos \beta =\frac{y}{|\mathbf{r}|},\cos \gamma =\frac{z}{|\mathbf{r}|}$$

从而

$$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=(\frac{x}{|\mathbf{r}|},\frac{y}{|\mathbf{r}|},\frac{z}{|\mathbf{r}|})=\frac{1}{\mathbf{r}}(x,y,z)=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}={\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}.$$

$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 称为向量 $\mathbf{r}$ 的方向余弦。上式表明，以向量 $\mathbf{r}$ 的方向余弦为坐标的向量就是与 $\mathbf{r}$ 同方向的单位向量 ${\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$，由此可得

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$$

3.向量在轴上的投影

一般地，设点 $O$ 及单位向量 $\mathbf{e}$ 确定 $u$ 轴。任给向量 $\mathbf{r}$ ，作 $\overrightarrow{OM}=\mathbf{r}$ ，再过点 $M$ 作与 $u$ 轴垂直的平面交 $u$ 轴于点 $M^{\prime }$ （点 $M^{\prime }$ 叫做点 $M$ 在 $u$ 轴上的投影），则向量 $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}$ 称为向量 $\mathbf{r}$ 在 $u$ 轴上的分向量。设 $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=\lambda \mathbf{e}$ ，则数 $\lambda$ 称为向量 $\mathbf{r}$ 在 $u$ 轴上的投影，记作 ${\mathrm{Prj}}_u\mathbf{r}$ 或者 $(\mathbf{r}{)}_u$ 。

按此定义，向量 $\mathbf{a}$ 在直角坐标系 $Oxyz$ 中的坐标 $a_x,a_y,a_z$ 就是 $\mathbf{a}$ 在三条坐标轴上的投影，即

$$a_x={\mathrm{Prj}}_x\mathbf{a},a_y={\mathrm{Prj}}_y\mathbf{a},a_z={\mathrm{Prj}}_z\mathbf{a}$$

或记作

$$a_x=(\mathbf{a}{)}_x,a_y=(\mathbf{a}{)}_y,a_z=(\mathbf{a}{)}_z.$$

向量的投影具有与坐标相同的性质：

性质1 ${\mathrm{Prj}}_u\mathbf{a}=|\mathbf{a}|\cos \phi (即(\mathbf{a}{)}_u=|\mathbf{a}|\cos \phi )$，其中 $\phi$ 为向量 $\mathbf{a}$ 与 $u$ 轴的夹角；
性质2 ${\mathrm{Prj}}_u(\mathbf{a}+\mathbf{b})={\mathrm{Prj}}_u\mathbf{a}+{\mathrm{Prj}}_u\mathbf{b}$ （即 $(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}_u=(\mathbf{a}{)}_u+(\mathbf{b}{)}_u$）
性质3 $\mathrm{Prj}(\lambda \mathbf{a})=\lambda {\mathrm{Prj}}_u\mathbf{a}$（即 $(\lambda \mathbf{a}{)}_u=\lambda (\mathbf{a}{)}_u$）

原文链接：高等数学 8.1向量及其线性运算