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本文涉及知识点

组合数学汇总

LeetCode2400. 恰好移动 k 步到达某一位置的方法数目

给你两个 正 整数 startPos 和 endPos 。最初，你站在 无限 数轴上位置 startPos 处。在一步移动中，你可以向左或者向右移动一个位置。
给你一个正整数 k ，返回从 startPos 出发、恰好 移动 k 步并到达 endPos 的 不同 方法数目。由于答案可能会很大，返回对 109 + 7 取余 的结果。
如果所执行移动的顺序不完全相同，则认为两种方法不同。
注意：数轴包含负整数。
示例 1：
输入：startPos = 1, endPos = 2, k = 3
输出：3
解释：存在 3 种从 1 到 2 且恰好移动 3 步的方法：

• 1 -> 2 -> 3 -> 2.
• 1 -> 2 -> 1 -> 2.
• 1 -> 0 -> 1 -> 2.
  可以证明不存在其他方法，所以返回 3 。
  示例 2：
  输入：startPos = 2, endPos = 5, k = 10
  输出：0
  解释：不存在从 2 到 5 且恰好移动 10 步的方法。
  提示：
  1 <= startPos, endPos, k <= 1000

组合

i1 =（ k - abs(endPos-startPos）)/2 i2 = k -i1。如果endPos > startPos,i1是前移,i2是后移；endPos <= startPos，相反。从k中选择i1个位置放正方向(反方向)，忽略内部顺序是组合。C_{k}^{i1}。
k - abs(endPos-startPos）为负数或奇数，无方案返回0。

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this /= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};template<class T >
class CFactorial
{
public:CFactorial(int n):m_res(n+1){m_res[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {m_res[i] = m_res[i - 1] * i;}}	T Com(int iSel, int iCanSel)const {return m_res[iCanSel] / m_res[iSel]/ m_res[iCanSel - iSel];}T Com(const vector<int>& cnt)const {T biRet = 1;int iCanSel = std::accumulate(cnt.begin(), cnt.end(), 0);for (int j = 0; j < cnt.size(); j++) {biRet *= Com(cnt[j], iCanSel);iCanSel -= cnt[j];}return biRet;}vector<T> m_res;
};class Solution {public:int numberOfWays(int startPos, int endPos, int k) {const int iRemain = k - abs(startPos - endPos);if ((iRemain < 0)||(iRemain&1)) { return 0; }const int i1 = iRemain / 2;CFactorial<C1097Int<>> fac(k);return fac.Com(i1, k).ToInt();}};

核心代码

int startPos,  endPos,  k;TEST_METHOD(TestMethod11){startPos = 1, endPos = 2, k = 3;auto res = Solution().numberOfWays(startPos, endPos, k);AssertEx(3, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){startPos = 2, endPos = 5, k = 10;auto res = Solution().numberOfWays(startPos, endPos, k);AssertEx(0, res);}

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。