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时间:2025/7/9 21:55:54来源：https://blog.csdn.net/IT_ORACLE/article/details/144735740 浏览次数:0次

链式求导法则是微积分中的重要工具，用于处理复合函数的求导。它描述了如何计算一个函数的函数（复合函数）的导数。

假设有一个复合函数 y = f(g(x))，其中：

链式求导法则表述为：

$\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

链式法则的核心思想是将复合函数的变化率分解为：

两者的乘积就是复合函数的整体变化率。

设 y = f(u) 且 u = g(x)，则

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

其中：

因此，

$\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

已知 $y = (2x^2 + 3)^4$ ，求导。

解：

令内层函数 $u = 2x^2 + 3$ ，则 $y = u^4$ 。
内层导数： $u' = \frac{du}{dx} = 4x$ 。
外层导数： $\frac{dy}{du} = 4u^3$ 。
复合导数： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot 4x = 16x(2x^2 + 3)^3$

已知 $y = \ln(3x^2 + 1)$ ，求导。

解：

外层函数： $f(u) = \ln(u)$ ，导数为 $f'(u) = \frac{1}{u}$ 。
内层函数： $g(x) = 3x^2 + 1$ ，导数为 $g'(x) = 6x$ 。
根据链式法则： $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) = \frac{1}{3x^2 + 1} \cdot 6x = \frac{6x}{3x^2 + 1}$

已知 $y = \sin(x^2)$ ，求导。

解：

链式法则可以扩展到多层复合函数。

已知 $y = \sin^2(3x^2 + 1)$ ，求导。

解：

最内层函数： $u = 3x^2 + 1$ ， $u' = 6x$ 。
第二层函数： $v = \sin(u)$ ， $v' = \cos(u) \cdot u'$ 。
最外层函数： $y = v^2$ ， $y' = 2v \cdot v'$ 。
逐步求导并合并：

$\frac{dy}{dx} = 2\sin(3x^2 + 1) \cdot \cos(3x^2 + 1) \cdot 6x = 12x \sin(3x^2 + 1) \cos(3x^2 + 1)$