扩展卡尔曼滤波（EKF）是一种有效的状态估计算法，特别适用于非线性系统。在本文中，我们将详细探讨EKF的原理、实现步骤及其在实际中的应用，并通过一个二维位置和速度跟踪的例子来展示其效果。
1. 引言
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种优化的状态估计算法，广泛应用于信号处理、导航和控制领域。然而，传统卡尔曼滤波仅适用于线性系统。在现实中，许多系统表现出非线性特性，这就需要扩展卡尔曼滤波来处理这些复杂的情况。本文将介绍如何在非线性环境中应用扩展卡尔曼滤波，并通过一个实际例子来演示其实现过程。
2. 扩展卡尔曼滤波概述
扩展卡尔曼滤波通过对非线性函数进行线性化处理，使用雅可比矩阵来近似状态转移和测量模型，从而将卡尔曼滤波的基本框架扩展到非线性系统中。EKF的核心步骤包括状态预测、协方差预测、测量更新和协方差更新。
3. 系统模型
3.1 状态方程
系统的状态方程表示为：
x k = f ( x k − 1 ) + w k − 1 \mathbf{x}_k = \mathbf{f}(\mathbf{x}_{k-1}) + \mathbf{w}_{k-1} xk=f(xk−1)+wk−1
其中， x k = [ x k y k x ˙ k y ˙ k ] ⊤ \mathbf{x}_k = \begin{bmatrix} x_k & y_k & \dot{x}_k & \dot{y}_k \end{bmatrix}^\top xk=[xkykx˙ky˙k]⊤ 是状态向量，包括二维位置 ( x , y ) (x, y) (x,y) 和速度 ( x ˙ , y ˙ ) (\dot{x}, \dot{y}) (x˙,y˙)。 w k − 1 \mathbf{w}_{k-1} wk−1 是过程噪声。
3.2 测量方程
测量方程表示为：
z k = h ( x k ) + v k \mathbf{z}_k = \mathbf{h}(\mathbf{x}_k) + \mathbf{v}_k zk=h(xk)+vk
其中， z k = [ z r k z θ k ] ⊤ \mathbf{z}_k = \begin{bmatrix} z_{r_k} & z_{\theta_k} \end{bmatrix}^\top zk=[zr
