实变函数精解【19】

Levi定理

Levi定理，也称为勒贝格单调收敛定理（monotone convergence theorem），是实变函数领域中的一个重要定理。该定理主要关注于渐升的非负可测函数列的极限与积分之间的关系。以下是关于Levi定理的详细解析：

一、定理内容

设{fn(x)}是可测集E上的一列非负可测函数，且满足以下条件：
$$\begin{gathered} 1.fn(x)\le fn+1(x)（n=1,2,...），即函数列是单调递增的。 \\ 2.fn(x)在E上几乎处处收敛于某个函数f(x)。 \end{gathered}$$
则根据Levi定理，有：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_n(x)dm={\int }_{E}f(x)dm$$

其中，dm表示在可测集E上的勒贝格测度。

二、定理意义

Levi定理的意义在于它允许我们在一定条件下将极限运算与积分运算交换顺序，这对于处理复杂的积分问题非常有用。特别地，当函数列是单调递增且非负时，我们可以先求极限再积分，或者先积分再求极限，两者结果相同。

三、应用领域

Levi定理在实变函数、测度论、概率论等领域都有广泛的应用。它不仅是勒贝格积分理论中的一个基本定理，也是处理函数列极限与积分关系的重要工具。

四、证明思路

证明Levi定理通常涉及以下几个步骤：

1. 构造逼近函数：通过非负简单函数列来逼近原函数列{fn(x)}，这些简单函数列同样保持单调递增的性质。
2. 应用单调收敛性：利用单调收敛定理（对于简单函数列）来证明逼近函数列的积分极限等于其极限函数的积分。
3. 极限运算：通过一系列极限运算，将逼近函数列的积分极限与原函数列的积分极限联系起来。
4. 得出结论：由于逼近函数列的积分极限等于原函数列的积分极限，且逼近函数列的极限函数等于原函数列的极限函数，因此可以得出Levi定理的结论。

五、相关定理

在实变函数和测度论中，除了Levi定理外，还有Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理等重要的极限定理。这些定理共同构成了处理函数列极限与积分关系的基本理论框架。

六、总结

Levi定理是实变函数中的一个重要定理，它允许我们在一定条件下交换极限运算与积分运算的顺序。该定理在实变函数、测度论、概率论等领域都有广泛的应用，是处理复杂积分问题的重要工具。

Lebesgue可积函数性质

1. 线性性：

   • 若函数$f(x)$和$g(x)$在区间$I$上都是Lebesgue可积的，则它们的线性组合$af(x)+bg(x)$（其中$a,b$为常数）在$I$上也是Lebesgue可积的，且积分满足${\int }_I(af(x)+bg(x))dx=a{\int }_{I}f(x)dx+b{\int }_{I}g(x)dx$。

2. 单调性：

   • 若函数$f(x)$在区间$I$上单调，则它是Lebesgue可积的。这是因为单调函数的不连续点至多可数，而可数集是零测集，不影响积分值。

3. 有界性：

   • 有界函数在有限区间上不一定是Lebesgue可积的，但如果它的不连续点构成的集合是零测集（即有界且几乎处处连续），则它是Lebesgue可积的。

4. 绝对可积性：

   • 若函数$f(x)$在区间$I$上是Lebesgue可积的，则其绝对值函数$|f(x)|$在$I$上也是Lebesgue可积的，且积分满足${\int }_I|f(x)|dx\ge \left|{\int }_{I}f(x)dx\right|$。

5. 积分区间的可加性：

   • 若函数$f(x)$在区间$I_1$和$I_2$上都是Lebesgue可积的，且$I_1\cap I_2$为空集或仅包含一个端点，则它在区间$I_1\cup I_2$上也是Lebesgue可积的，并且积分值满足${\int }_{I_1\cup I_2}f(x)dx={\int }_{I_1}f(x)dx+{\int }_{I_2}f(x)dx$。

6. 积分与极限的交换性（Levi定理/勒贝格单调收敛定理）：

   • 若函数列 { f n ( x ) } \{f_n(x)\} {fn​(x)}在区间$I$上单调递增（或递减），且几乎处处收敛于函数$f(x)$，则函数列和函数$f(x)$在$I$上都是Lebesgue可积的，且积分满足${\lim }_{n\to \infty }{\int }_I{f}_n(x)dx={\int }_{I}f(x)dx$。

7. 绝对连续性：

   • 对于Lebesgue可积函数$f(x)$，当积分区间$I$的长度趋于0时（即区间收缩到一点），积分的绝对值也趋于0，即${\lim }_{|I|\to 0}\left|{\int }_{I}f(x)dx\right|=0$。

8. 与Riemann积分的关系：

   • 若函数$f(x)$在区间$I$上是Riemann可积的，则它一定是Lebesgue可积的，并且两种积分的值相等。但反之不一定成立，即Lebesgue可积的函数不一定Riemann可积。这是因为Lebesgue积分对函数的不连续性要求更低，只要求不连续点构成零测集。

9. 积分的中值定理（在某些条件下成立）：

   • 对于在区间$I$上连续或几乎处处连续的Lebesgue可积函数$f(x)$，存在至少一个点$x_0\in I$，使得函数在该点的值等于积分平均值，即$f(x_0)=\frac{1}{|I|}{\int }_{I}f(x)dx$。但需要注意的是，这个性质并不总是成立，特别是当函数在区间上无界或具有其他特殊性质时。

10. 积分的比较定理：

    • 若在区间$I$上，函数$f(x)\le g(x)$几乎处处成立，且$f(x)$和$g(x)$都是Lebesgue可积的，则${\int }_{I}f(x)dx\le {\int }_{I}g(x)dx$。

11. 积分的可数可加性（在有限和下成立）：

    • 对于有限个Lebesgue可积函数的和，其积分等于各函数积分之和。即若$f_1(x),f_2(x),\dots ,f_n(x)$在区间$I$上都是Lebesgue可积的，则${\int }_I\left({\sum }_{i=1}^n{f}_i(x)\right)dx={\sum }_{i=1}^n{\int }_I{f}_i(x)dx$。但需要注意的是，对于可数无穷多个函数，这个性质一般不成立，除非满足特定的条件（如函数列单调且逐点收敛）。

综上所述，Lebesgue可积函数具有线性性、单调性、有界性（在特定条件下）、绝对可积性、积分区间的可加性、积分与极限的交换性（在特定条件下）、绝对连续性、与Riemann积分的关系、积分的中值定理（在特定条件下）、积分的比较定理以及积分的可数可加性（在有限和下）。这些性质共同构成了Lebesgue积分理论的基础。

参考文献

1.《实变函数与泛函分析》
2. 文心一言
3. chatgpt