【数据结构】二叉搜索树

1.二叉搜索树概念

二叉搜索树又称二叉排序树，可以是一棵空树；如果不是空树，则是一棵具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

二叉搜索树也是递归定义的。由定义可以得出一个重要的性质：中序遍历一棵二叉搜索树时可以得到一个节点值递增的有序序列。

2.二叉搜索树的操作

2.1节点与树结构

跟二叉树类似，我们的树仅仅维持一个root指针即可，这里无非就是增加了模板的使用。

1. 节点

template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& val = K()):_key(val),_left(nullptr),_right(nullptr){}
};

2. 树

template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;//节点重命名
public:BSTree():_root(nullptr){}
private:Node* _root;};

2.2二叉搜索树的查找

• 从根开始比较，比根大，就在右子树中查找；比根小，就在左子树中查找
• 最多查找高度次，走到空还未找到，则找不到

	bool find(const K& val){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < val)cur = cur->_right;else if (cur->_key > val)cur = cur->_left;elsereturn true;}return false;}

2.3二叉搜索树的插入

• 二叉搜索树不允许出现重复的节点；若要插入的节点已经存在，则插入失败
• 树为空，插入的节点就作为根
• 树不为空，按照树的规则寻找插入位置，将节点插入
  • 要想连接上，应记录其父节点
  • 比父节点小，插入到左边
  • 比父节点大，插入到右边

	bool insert(const K& val){//若为空树if (_root == nullptr){_root = new Node(val);return true;}//非空Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key > val){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < val){parent = cur;cur = cur->_right;}else//相等了，插入失败return false;}//cur位置就是要插入的位置cur = new Node(val);//判断插入到父节点的哪一边if (parent->_key < val)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}

2.4二叉搜索树的遍历

由于二叉搜索树的特性，我们使用中序遍历出来的结果就是有序的，所以它也叫二叉排序树。

如果我们按照上述方式写，由于在类外面访问不到root，我们也就没有办法传递参数。所以我们可以给它套一层

public:void InOrder(){_InOrder(_root);}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}

2.5二叉搜索树的删除（重点）

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false, 否则要删除的结点可能分下面四种情况：

• a、要删除的节点为叶子节点（无孩子）
• b、要删除的节点只有左孩子
• c、要删除的节点只有右孩子
• d、要删除的节点左右孩子都有

所以，对于a情况，我们可以将其与b、c中任意一个进行合并

如果左右两个孩子都有怎么办呢？

我们要在树中找一个符合二叉树规则的数据去替代他

方法：在它的右子树中寻找一个最小的结点(或者在左子树中找一个最大的节点)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题（最小的节点就是右树中最左下的节点）

如果我删除的是根节点呢?

总体的结构就是这样

细节如下：

bool erase(const K& val){Node* cur = _root;Node* parent = null;while (cur){//寻找要删除的位置if (cur->_key < val){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > val){parent = cur;cur = cur->_left;}//cur->_key == val找到了要删除的位置else  {//只有左孩子或没孩子，父亲指向我的左if (cur->_right == nullptr){//如果删除根节点，新根就是我的左if (cur == _root)//如果删除根节点，新根就是我的左{_root = cur->_left;}else{//判断插入到父节点的哪一边if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}//只有右孩子，父亲指向我的右else if (cur->_left == nullptr){//如果删除根节点，新根就是我的右if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}//左右孩子都有else{Node* rightMin = cur->_right;Node* rightMinParent = cur;//找右树的最小while (rightMin->_left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}swap(rightMin->_key, cur->_key);//替换//判断连接在父亲的哪一边if (rightMinParent->_left == rightMin)rightMinParent->_left = rightMin->_right;elserightMinParent->_right = rightMin->_right;delete rightMin;}return true;}}return false;}

3.二叉搜索树的应用

3.1K模型

K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。

上述代码中所展现的就是K模型的样例，使用K模型查找可以使时间复杂度达到O(logN) (树不退化的前提下)

3.2KV模型

KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。

• 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
• 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

改造K模式，使其变成KV模型：

对于KV模型来说，只需简单变动一下K模型即可。

• find函数：对于查找函数，它找到以后不再返回True，而是返回节点的指针

其余功能基本没有变化，仅仅是节点的值发生了变化

namespace KV
{template<class K,class V>struct BSTNode{K _key;V _value;BSTNode<K,V>* _left;BSTNode<K,V>* _right;BSTNode(const K& key = K(),const V& val = V()):_key(key),_value(val), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K,class V>class BSTree{typedef BSTNode<K,V> Node;//节点重命名public:BSTree():_root(nullptr){}//析构~BSTree(){Destroy(_root);}void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}bool insert(const K& key, const V& val){//若为空树if (_root == nullptr){_root = new Node(key,val);return true;}//非空Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else//相等了，插入失败return false;}//cur位置就是要插入的位置cur = new Node(key,val);//判断插入到父节点的哪一边if (parent->_key < key)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;return true;}Node* find(const K& val){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < val)cur = cur->_right;else if (cur->_key > val)cur = cur->_left;elsereturn cur;}return nullptr;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool erase(const K& val){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){//寻找要删除的位置if (cur->_key < val){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > val){parent = cur;cur = cur->_left;}//cur->_key == val找到了要删除的位置else{//只有左孩子或没孩子，父亲指向我的左if (cur->_right == nullptr){//如果删除根节点，新根就是我的左if (cur == _root)//如果删除根节点，新根就是我的左{_root = cur->_left;}else{//判断插入到父节点的哪一边if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}//只有右孩子，父亲指向我的右else if (cur->_left == nullptr){//如果删除根节点，新根就是我的右if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}//左右孩子都有else{Node* rightMin = cur->_right;Node* rightMinParent = cur;//找右树的最小while (rightMin->_left){rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}swap(rightMin->_key, cur->_key);//替换//判断连接在父亲的哪一边if (rightMinParent->_left == rightMin)rightMinParent->_left = rightMin->_right;elserightMinParent->_right = rightMin->_right;delete rightMin;}return true;}}return false;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " " << root->_value<< endl;;_InOrder(root->_right);}private:Node* _root;};
}