1. 綫性變換的矩陣表示：
設 \(\sigma\) 是 \(n\) 維綫性空間 \(V\) 上的綫性變換，\(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 是 \(V\) 的一組基，且 \(\sigma(\alpha_i)=\sum_{j = 1}^{n}a_{ji}\alpha_j\)，\(i = 1, 2, \cdots, n\)，記 \(A=(a_{ij})\)，則稱 \(A\) 為綫性變換 \(\sigma\) 在基 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 下的矩陣。
若矢量 \(\xi\) 在基 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 下的座標為 \((x_1, x_2, \cdots, x_n)^T\)，則 \(\sigma(\xi)\) 在基 \(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\) 下的座標為 \(A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\)。
2. 特征值與特征向量：
設 \(A\) 是 \(n\) 階方陣，若存在數 \(\lambda\) 和非零 \(n\) 維矢量 \(\xi\)，使得 \(A\xi = \lambda\xi\)，則稱 \(\lambda\) 是矩陣 \(A\) 的特征值，\(\xi\) 是矩陣 \(A\) 屬於特征值 \(\lambda\) 的特征向量。 - 特征方程為 \(\vert\lambda I - A\vert = 0\)，解此方程可得到矩陣 \(A\) 的特征值，將特征值代入齊次綫性方程組 \((\lambda I - A)X = 0\) 可求出對應的特征向量。
3. 相似矩陣：
設 \(A\)，\(B\) 為 \(n\) 階方陣，若存在可逆矩陣 \(P\)，使得 \(P^{-1}AP = B\)，則稱 \(A\) 與 \(B\) 相似，記作 \(A\sim B\)。相似矩陣有相同的特征值。
例題解析：
1. 已知在 \(2\) 維綫性空間 \(V\) 中，綫性變換 \(\sigma\) 在基 \(\alpha_1, \alpha_2\) 下的矩陣 \(A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，矢量 \(\xi\) 在基 \(\alpha_1, \alpha_2\) 下的座標為 \(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)，求 \(\sigma(\xi)\) 在基 \(\alpha_1, \alpha_2\) 下的座標。 - 解：根據上述性質，\(\sigma(\xi)\) 在基 \(\alpha_1, \alpha_2\) 下的座標為 \(A\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1 + 2\times2\\3\times1 + 4\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\11\end{pmatrix}\)。
2. 求矩陣 \(A = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) 的特征值和特征向量。
解：
先求特征方程 \(\vert\lambda I - A\vert = \begin{vmatrix}\lambda - 2& - 1\\ - 1&\lambda - 2\end{vmatrix}= (\lambda - 2)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 4 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0\)。 - 因式分解得 \((\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0\)，解得特征值 \(\lambda_1 = 1\)，\(\lambda_2 = 3\)。
當 \(\lambda_1 = 1\) 時，代入齊次綫性方程組 \((\lambda_1 I - A)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}1 - 2& - 1\\ - 1&1 - 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1& - 1\\ - 1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，取 \(x_1 = 1\)，則 \(x_2 = -1\)，所以屬於特征值 \(\lambda_1 = 1\) 的一個特征向量為 \(\xi_1 = \begin{pmatrix}1\\ - 1\end{pmatrix}\)（非零解向量均可，這裡取了一組簡單的），全部特征向量為 \(k_1\begin{pmatrix}1\\ - 1\end{pmatrix}\)，\(k_1\neq 0\)。
當 \(\lambda_2 = 3\) 時，代入齊次綫性方程組 \((\lambda_2 I - A)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}3 - 2& - 1\\ - 1&3 - 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1& - 1\\ - 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，取 \(x_1 = 1\)，則 \(x_2 = 1\)，所以屬於特征值 \(\lambda_2 = 3\) 的一個特征向量為 \(\xi_2 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)，全部特征向量為 \(k_2\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)，\(k_2\neq 0\)。
3. 已知 \(A = \begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\)，判斷 \(A\) 與 \(B\) 是否相似。
解：
先求 \(A\) 的特征值，\(\vert\lambda I - A\vert = \begin{vmatrix}\lambda - 1&0\\0&\lambda - 2\end{vmatrix}= (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0\)，特征值為 \(\lambda_1 = 1\)，\(\lambda_2 = 2\)。
再求 \(B\) 的特征值，\(\vert\lambda I - B\vert = \begin{vmatrix}\lambda - 2&0\\0&\lambda - 1\end{vmatrix}= (\lambda - 2)(\lambda - 1) = 0\)，特征值為 \(\lambda_1 = 1\)，\(\lambda_2 = 2\)。
雖然 \(A\) 和 \(B\) 有相同的特征值，但我們還需判斷是否存在可逆矩陣 \(P\) 使得 \(P^{-1}AP = B\)。
令 \(P = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)，\(P^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)（因為 \(P\) 是正交矩陣，其逆等於其轉置），\(P^{-1}AP = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}=B\)。
所以 \(A\) 與 \(B\) 相似。
4. 在 \(3\) 維綫性空間 \(V\) 中，綫性變換 \(\sigma\) 在基 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 下的矩陣 \(A = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)，求 \(\sigma\) 在基 \(\beta_1 = \alpha_1\)，\(\beta_2 = \alpha_1 + \alpha_2\)，\(\beta_3 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3\) 下的矩陣 \(B\)。
解：
先求由基 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 到基 \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\) 的過渡矩陣 \(P\)，\((\beta_1, \beta_2, \beta_3)=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)，所以 \(P = \begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)。 - 且 \(P^{-1}=\begin{pmatrix}1& - 1&0\\0&1& - 1\\0&0&1\end{pmatrix}\)。
根据綫性變換在不同基下矩陣的關係 \(B = P^{-1}AP\)，\(B = \begin{pmatrix}1& - 1&0\\0&1& - 1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0& - 1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)。
5. 求矩陣 \(A = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\) 的特征值和特征向量。
解：
特征方程 \(\vert\lambda I - A\vert = \begin{vmatrix}\lambda&0& - 1\\0&\lambda - 1&0\\ - 1&0&\lambda\end{vmatrix}= \lambda(\lambda^2 - 1) - 0 + 0 = \lambda(\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0\)，解得特征值 \(\lambda_1 = 1\)，\(\lambda_2 = -1\)，\(\lambda_3 = 0\)。 - 當 \(\lambda_1 = 1\) 時，代入齊次綫性方程組 \((\lambda_1 I - A)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}1&0& - 1\\0&0&0\\ - 1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，令 \(x_1 = 1\)，則 \(x_3 = 1\)，\(x_2\) 任意，取 \(x_2 = 0\)，一個特征向量為 \(\xi_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\)，全部特征向量為 \(k_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\)，\(k_1\neq 0\)。
當 \(\lambda_2 = -1\) 時，代入齊次綫性方程組 \((\lambda_2 I - A)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}-1&0& - 1\\0&-2&0\\ - 1&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，令 \(x_1 = 1\)，則 \(x_3 = -1\)，\(x_2 = 0\)，一個特征向量為 \(\xi_2 = \begin{pmatrix}1\\0\\ - 1\end{pmatrix}\)，全部特征向量為 \(k_2\begin{pmatrix}1\\0\\ - 1\end{pmatrix}\)，\(k_2\neq 0\)。 - 當 \(\lambda_3 = 0\) 時，代入齊次綫性方程組 \((\lambda_3 I - A)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}0&0& - 1\\0&-1&0\\ - 1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\)，令 \(x_1 = 0\)，\(x_3 = 0\)，\(x_2 = 1\)，一個特征向量為 \(\xi_3 = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)，全部特征向量為 \(k_3\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(k_3\neq 0\)。
6. 已知 \(A = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\)，判斷 \(A\) 與 \(B\) 是否相似。
解：
先求 \(A\) 的特征值，\(\vert\lambda I - A\vert = \begin{vmatrix}\lambda - 1& - 1\\0&\lambda - 1\end{vmatrix}= (\lambda - 1)^2 = 0\)，特征值為 \(\lambda = 1\)（二重）。
再求 \(B\) 的特征值，\(\vert\lambda I - B\vert = \begin{vmatrix}\lambda - 1& - 2\\0&\lambda - 1\end{vmatrix}= (\lambda - 1)^2 = 0\)，特征值為 \(\lambda = 1\)（二重）。
對於 \(A\)，解齊次綫性方程組 \((\lambda I - A)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}0& - 1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，特征向量為 \(k\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)，\(k\neq 0\)，只有一組綫性無關的特征向量。
對於 \(B\)，解齊次綫性方程組 \((\lambda I - B)X = 0\)，即 \(\begin{pmatrix}0& - 2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，特征向量為 \(k\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\)，\(k\neq 0\)，只有一組綫性無關的特征向量。
假設存在可逆矩陣 \(P\) 使得 \(P^{-1}AP = B\)，由相似矩陣性質可知，若 \(A\) 與 \(B\) 相似，則它們的特征向量之間存在一定關係，但由於它們的特征子空間的維數（這裡都是 \(1\)）和特征向量的形式，無法找到這樣的可逆矩陣 \(P\)，所以 \(A\) 與 \(B\) 不相似。
7. 已知綫性變換 \(\sigma\) 在基 \(\alpha_1, \alpha_2\) 下的矩陣 \(A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求 \(\sigma\) 在基 \(\beta_1 = 2\alpha_1 + \alpha_2\)，\(\beta_2 = \alpha_1 - \alpha_2\) 下的矩陣 \(B\)。 - 解： - 先求由基 \(\alpha_1, \alpha_2\) 到基 \(\beta_1, \beta_2\) 的過渡矩陣 \(P\)，\((\beta_1, \beta_2)=(\alpha_1, \alpha_2)\begin{pmatrix}2&1\\1& - 1\end{pmatrix}\)，所以 \(P = \begin{pmatrix}2&1\\1& - 1\end{pmatrix}\)。 - 再求 \(P\) 的逆矩陣，\(\vert P\vert = 2\times(-1) - 1\times1 = - 3\)，\(P\) 的伴隨矩陣 \(P^{*}=\begin{pmatrix}-1& - 1\\ - 1&2\end{pmatrix}\)，所以 \(P^{-1}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}-1& - 1\\ - 1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}\)。
根据綫性變換在不同基下矩陣的關係 \(B = P^{-1}AP\)，\(B = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1& - 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\times1 + \frac{1}{3}\times3&\frac{1}{3}\times2 + \frac{1}{3}\times4\\\frac{1}{3}\times1 - \frac{2}{3}\times3&\frac{1}{3}\times2 - \frac{2}{3}\times4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1& - 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{4}{3}&2\\-\frac{5}{3}&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1& - 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{8}{3} + 2&\frac{4}{3} - 2\\-\frac{10}{3} - 2&-\frac{5}{3} + 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{14}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{16}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)。
8. 已知 \(n\) 階方陣 \(A\) 滿足 \(A^2 - 5A + 6I = 0\)，求 \(A\) 的特征值。
解： - 設 \(\lambda\) 是 \(A\) 的特征值，\(\xi\) 是屬於 \(\lambda\) 的特征向量，則 \(A\xi = \lambda\xi\)。
將 \(A\xi = \lambda\xi\) 代入 \(A^2 - 5A + 6I = 0\) 中，得到 \(A^2\xi - 5A\xi + 6I\xi = 0\)。
因為 \(A^2\xi = A(A\xi)=A(\lambda\xi)=\lambda A\xi=\lambda^2\xi\)，\(I\xi = \xi\)，所以 \(\lambda^2\xi - 5\lambda\xi + 6\xi = 0\)，即 \((\lambda^2 - 5\lambda + 6)\xi = 0\)。
由於 \(\xi\) 是非零向量，所以 \(\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0\)。
因式分解得 \((\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0\)，解得 \(\lambda_1 = 2\)，\(\lambda_2 = 3\)，所以 \(A\) 的特征值為 \(2\) 和 \(3\)。
