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第九章 动态规划 part05

力扣上没有纯粹的完全背包的题目，我在卡码网上制作了题目，大家可以去做一做，题目链接在下面的文章链接里。

后面的两道题目，都是完全背包的应用，大家可以做做感受一下。

完全背包

• 视频讲解：B站链接
• 题解链接：程序员Carl - 完全背包
  01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：

遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：

另外要遍历的顺序是可以颠倒的，一个是行遍历，一个是列遍历，都是根据之前的状态获得现在的状态。学会两种思路即可。

518. 零钱兑换 II

• 视频讲解：B站链接
• 题解链接：程序员Carl - 零钱兑换 II
  最开始写的代码时： dp[j] = max(dp[j], dp[j - coin] + 1);结果发现不是的，理所当然的认为每次多了一种方法，实际上是多了一个硬币，方法可能不止一个。dp[j] 应该表示用前面的硬币可以组成金额 j 的组合数，而不是最大硬币数。我们需要通过累加组合数来更新 dp[j] 的值，而不是通过 max 函数比较。

class Solution {
public:int change(int amount, vector<int>& coins) {vector<int> dp(amount + 1, 0);dp[0] = 1;for (int coin : coins) { // 遍历零钱  for (int j = coin; j <= amount; j++) { dp[j] +=  dp[j - coin] ;// 组合数累加}}return dp[amount];}
};

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

377. 组合总和 IV

• 视频讲解：B站链接
• 题解链接：程序员Carl - 组合总和 IV
  最开始我写的状态转移：dp[j] = max(dp[j], dp[j - coin] + 1);结果发现这是求最大硬币数，而不是方法，

class Solution {
public:int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {vector<int> dp(target + 1, 0);dp[0] = 1;for (int j = 1; j <= target; j++) {for (int num : nums) {if (j >= num ) {dp[j] += dp[j - num]; // 累加排列数}}}return dp[target];}
};

稍微绕了下，注意是排列数，不是组合数，我也被绕了下还是很容易写出方法的。

70. 爬楼梯（进阶）

这道题目爬楼梯之前我们做过，这次再用完全背包的思路来分析一遍。

• 题解链接：程序员Carl - 爬楼梯完全背包版本

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {int n, m;while (cin >> n >> m) {vector<int> dp(n + 1, 0);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];}}cout << dp[n] << endl;}
}

这题和上面的排列数类似，不需要过多介绍。