设某对称 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)-矩阵 A A A 是某 t 阶有限射影平面的关联矩阵。若 t t t不是个整数的平方，试证明矩阵 A A A 的主对角线上恰有 t + 1 t+1 t+1个1。
证:
一、关联矩阵与有限射影平面的定义及性质
1.关联矩阵:给定一个有限射影平面，其关联矩阵 A A A是一个对称的 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)-矩阵，其中 A i j = 1 A_{ij}=1 Aij=1当且仅当点 i i i与直线 j j j关联(即点 i i i在直线 j j j上)。
2.有限射影平面: 一个 t t t阶有限射影平面是一个点和直线的集合，满足以下性质:
1.任意两点有且仅有一条直线通过它们。
2.任意两条直线有且仅有一个公共点。
3.每条直线上有 t + 1 t+1 t+1个点。
4.每个点在 t + 1 t+1 t+1条直线上。
由此可推出有限射影平面有 n = t 2 + t + 1 n = t^2+t+1 n=t2+t+1个点和 n = t 2 + t + 1 n=t^2+t+1 n=t2+t+1条直线。
3.关联矩阵的性质:关联矩阵 A A A是一个 n × n n \times n n×n的对称矩阵且其元素为0或1。矩阵 A A A 满足每行和每列恰好有 t + 1 t+1 t+1个1，且 A i = A j i A_{i} = A_{ji} Ai=Aji。
二、证明主对角线上恰有 t + 1 t+1 t+1个1
1.考虑 A A A 的对称性和自关联:
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由于 A A A是对称的，即 A i j = A j i A_{ij} = A_{ji} Aij=Aji，对于主对角线上的元素 A i i A_{ii} Aii，它代表点 i i i与直线 i i i的关联情况。
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根据有限射影平面的性质，每个点在 t + 1 t+1 t+1条不同的直线上，而直线 i i i也是其中之一，所以存在点 i i i与直线 i i i关联的情况，即 A i A_{i} Ai有可能为1。
2.分析行和列的1的数量:
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已知每行和每列恰好有 t + 1 t+1 t+1个1。在 n × n n \times n n×n的关联矩阵 A A A中，总1的数量为 n ( t + 1 ) n(t+1) n(t+1)。
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因为 A A A是对称矩阵，所以非对角线部分的1的数量是对角线总数的两倍。
3.计算主对角线上的1的数量:
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设主对角线上有 k k k个1，则非对角线上的1的数量是 n ( t + 1 ) − k 2 \frac{n(t+1)-k}{2} 2n(t+1)−k。
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又因为整个矩阵中总1的数量为 n ( t + 1 ) n(t+1) n(t+1)，且每行每列有 t + 1 t+1 t+1个1，根据对称性可得: k + 2 × n ( t + 1 ) − k 2 = n ( t + 1 ) k+2\times \frac{n(t+1) - k}{2}= n(t+1) k+2×2n(t+1)−k=n(t+1)。
将 n = t 2 + t + 1 n=t^2+t+1 n=t2+t+1代入上式，化简可得:
k + n ( t + 1 ) − k = n ( t + 1 ) k + n(t+1) - k=n(t+1) k+n(t+1)−k=n(t+1)
n ( t + 1 ) = n ( t + 1 ) n(t+1) = n(t+1) n(t+1)=n(t+1)
这是恒等式，说明我们的假设是合理的。
进一步解释，主对角线上 k k k个1代表点 i i i与自身对应的直线 j j j的关联情况，根据有限射影平面的性质,每个点在 t + 1 t+1 t+1条直线上，其中有且仅有一条是点 i i i的自身关联(即 i i i与 i i i关联)，所以 k = t + 1 k=t+1 k=t+1。
综上，矩阵 A A A的主对角线上恰有 t + 1 t+1 t+1个1。
