1. 关节空间和笛卡尔空间的定义
-
关节空间：
描述机器人的每个关节的位置。对于旋转关节来说，是关节角度；对于移动关节来说，是关节的线性位移。
关节空间是通过机器人的各个关节角度来描述机器人的状态。每个关节对应一个自由度，在多关节机器人中，每个关节的位置可以通过旋转角度或伸缩距离来表示。关节空间的优势在于它是机器人的控制系统直接使用的坐标系，便于控制各个关节的运动和协调。 -
笛卡尔空间：
描述机器人的末端执行器在工作空间中的位置和姿态。通常用 ( (x, y, z) ) 表示位置，用欧拉角或四元数表示姿态（方向）。
笛卡尔空间是以三维坐标系（x、y、z轴）来描述机器人的位姿（位置和姿态），通常是机器人的工作区域或末端执行器的空间。笛卡尔坐标的原点通常位于机器人基座处。在这个空间中，机器人的位置和姿态可以用x、y、z三个平移量和姿态的三个旋转角来描述。
2. 使用 Denavit-Hartenberg (DH) 参数建立正向运动学模型
通过 Denavit-Hartenberg 参数方法，可以用每个关节的四个参数（连杆长度 ( a_i )、连杆偏移 ( d_i )、连杆扭转角 ( \alpha_i )、关节角 ( \theta_i )）来定义各个关节之间的坐标变换矩阵。
对于每个关节 ( i )，我们构造一个 4x4 的齐次变换矩阵 ( T_{i-1}^i )，描述该关节相对于前一个关节的位姿。
3. 计算变换矩阵
将各个关节的齐次变换矩阵进行连乘，从基座坐标系（通常是世界坐标系）一直乘到末端执行器，得到末端执行器相对于基座的位姿：
其中，( T_{0}^n ) 是从基座坐标系到末端执行器的齐次变换矩阵，它包含了位置和姿态的信息。
4. 提取笛卡尔坐标信息
通过计算得到的齐次变换矩阵 ( T_{0}^n ) 的最后一列前三行，即可以得到末端执行器在笛卡尔空间中的位置：
而变换矩阵的前三行前三列则描述了末端执行器的姿态。
5. 实现步骤总结
- 确定 DH 参数：确定每个关节的 DH 参数（( a_i )、( d_i )、( \alpha_i )、( \theta_i )）。
- 建立每个关节的齐次变换矩阵：通过 DH 参数定义每个关节的 4x4 齐次变换矩阵。
- 矩阵相乘：将这些变换矩阵从基座到末端依次相乘，得到总的变换矩阵。
- 提取位姿信息：从总的变换矩阵中提取出位置和姿态，从而获得末端执行器的笛卡尔坐标。
6. 应用
- 路径规划：机器人通过控制关节角度来移动末端到目标位置。
- 控制算法：实现精确的定位和操控，例如焊接、装配和抓取任务。
- 逆向运动学：在笛卡尔空间中确定目标位置后，需要使用逆向运动学来确定相应的关节角度，从而实现定位。
