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文章目录
- 前言
- C7 极限环(limit circle)
- C7.0 介绍(introduction)
- C7.1 极限环的例子
- 例7.1.1
- 例 7.1.2
前言
提示：这里可以添加本文要记录的大概内容：
参考书《Nonlinear dynamics and chaos》 Steven H. Strogatz
本节重点Note第七章极限环7.0-7.1内容，图片来自于该书
C7 极限环(limit circle)
C7.0 介绍(introduction)
极限环(limit circle)是一个孤立的闭合轨迹。孤立意味着邻近的轨迹不是闭合的；它们要么螺旋向极限环靠近，要么远离极限环. 见下图：
如果所有邻近的轨迹都接近极限环，我们说极限环是稳定的或吸引的。否则极限环是不稳定的，或者在特殊情况下，是半稳定的。
稳定的极限环在科学上非常重要——它们模拟表现出自持振荡的系统。换句话说，这些系统即使在没有外部周期性驱动的情况下也会振荡。在无数的例子中，我们只提到几个：心脏的跳动；起搏神经元的周期性放电；人体温度和激素分泌的日常节律；自发振荡的化学反应；以及桥梁和飞机机翼中危险的自激振动。在每种情况下，都存在某种优选周期、波形和振幅的标准振荡。如果系统受到轻微扰动，它总是返回到标准周期。
极限环本质上是非线性现象；它们不能出现在线性系统中。当然，线性系统 x ˙ = A x \dot{x} = Ax x˙=Ax 可以有闭合轨道，但它们不会是孤立的；如果 x ( t ) x(t) x(t) 是一个周期解，那么对于任何常数 c ≠ 0 ， c x ( t ) c \neq 0，cx(t) c=0，cx(t)也是周期解。因此， x ( t ) x(t) x(t) 被一个一参数族的闭合轨道所包围,如下图。因此，线性振荡的振幅完全由其初始条件决定；任何对振幅的轻微干扰都会持续存在。
相比之下，极限环振荡由系统本身的结构决定。
下一节将介绍两个具有极限环的系统的例子。在第一个例子中，通过观察可以明显看出极限环，但通常很难仅从控制方程中判断给定系统是否有极限环，或者是否有任何闭合轨道。第 7.2-7.4 节介绍了一些排除闭合轨道或证明其存在的技术。本章的其余部分讨论了用于近似闭合轨道的形状和周期以及研究其稳定性的分析方法。
C7.1 极限环的例子
例7.1.1
例子：简单的极限环
如果我们使用极坐标系，构造极限环的例子就变得很简单。
考虑以下系统
r ˙ = r ( 1 − r 2 ) , θ ˙ = 1 \begin{equation} \dot{r} = r(1 - r^2), \quad \dot{\theta} = 1 \tag{1} \end{equation} r˙=r(1−r2),θ˙=1(1)
其中 r ≥ 0 r \geq 0 r≥0。径向和角向动力学是解耦的，因此可以分别分析。将 r ˙ = r ( 1 − r 2 ) \dot{r} = r(1 - r^2) r˙=r(1−r2) 视为直线上的向量场，我们可以看到 r ∗ = 0 r^* = 0 r∗=0 是一个不稳定的不动点，而 r ∗ = 1 r^* = 1 r∗=1 是稳定的. 因此，在相平面上，所有轨迹（除了 r ∗ = 0 r^* = 0 r∗=0）都单调地接近单位圆 r ∗ = 1 r^* = 1 r∗=1。由于 θ \theta θ方向的运动仅仅是以恒定角速度的旋转，我们看到所有轨迹都渐近地螺旋向 r = 1 r = 1 r=1 的极限环。
我们可以得到如下两图：
将解作为 t t t 的函数进行绘制也是有益的. 例如，下图中，我们为从外部开始的轨迹绘制 x ( t ) = r ( t ) cos θ ( t ) x(t) = r(t) \cos \theta(t) x(t)=r(t)cosθ(t).
例 7.1.2
例 7.1.2：范德波尔振荡器
一个不太直观的例子，但在非线性动力学的发展中起了核心作用，由范德波尔方程给出
x ¨ + μ ( x 2 − 1 ) x ˙ + x = 0 \begin{equation} \ddot{x} + \mu(x^2 - 1)\dot{x} + x = 0 \tag{2} \end{equation} x¨+μ(x2−1)x˙+x=0(2)
其中 μ ≥ 0 \mu \geq 0 μ≥0 是一个参数。
对于电路来说，方程(2)看起来像一个简单的谐振子，但有一个非线性阻尼项 μ ( x 2 − 1 ) x ˙ \mu(x^2 - 1)\dot{x} μ(x2−1)x˙。这个项在 ∣ x ∣ > 1 |x| > 1 ∣x∣>1 时表现得像普通的正阻尼，但在 ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣x∣<1 时表现得像负阻尼。换句话说，它导致大幅度振荡衰减，但如果它们变得太小，则会将它们重新泵起。
正如您可能猜测的那样，系统最终会进入一个自持振荡，其中一个周期内耗散的能量平衡了输入的能量。有一些严谨的工作，可以证明范德波尔方程对于每个 μ > 0 \mu > 0 μ>0 都有一个唯一的、稳定的极限环，如下图所示：
