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证明： 对于所有非负整数 $n$，以下等式成立：
$$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

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证明思路

1. 假设存在反例：

   • 设 $C$ 为所有使等式不成立的非负整数的集合：
     C = { n ∈ N ∣ 1 + 2 + 3 + ⋯ + n ≠ n ( n + 1 ) 2 } . C = \{ n \in \mathbb{N} \mid 1 + 2 + 3 + \cdots + n \neq \frac{n(n+1)}{2} \}. C={n∈N∣1+2+3+⋯+n=2n(n+1)​}.
   • 假设 $C$ 非空。

2. 应用良序原理：

   • 根据良序原理（WOP），$C$ 中存在最小元素 $c$。

3. 分析最小反例 $c$：

   • 由于 $c$ 是 $C$ 的最小元素，等式对于所有 $n<c$ 成立，但对于 $n=c$ 不成立。
   • 特别地，$c>0$，因为等式在 $n=0$ 时成立。

4. 推导矛盾：

   • 对于 $n=c-1$，等式成立：
     $$1+2+\cdots +(c-1)=\frac{(c-1)c}{2}.$$
   • 将 $c$ 加到等式两边：
     $$1+2+\cdots +(c-1)+c=\frac{(c-1)c}{2}+c=\frac{c(c+1)}{2}.$$
   • 这意味着等式对于 $n=c$ 也成立，与 $c\in C$ 矛盾。

5. 结论：

   • 假设 $C$ 非空导致矛盾，因此 $C$ 必须为空集。
   • 即等式对所有非负整数 $n$ 成立。

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证明

步骤1：假设存在反例

• 设 $C$ 为所有使等式不成立的非负整数的集合：
  C = { n ∈ N ∣ 1 + 2 + 3 + ⋯ + n ≠ n ( n + 1 ) 2 } . C = \{ n \in \mathbb{N} \mid 1 + 2 + 3 + \cdots + n \neq \frac{n(n+1)}{2} \}. C={n∈N∣1+2+3+⋯+n=2n(n+1)​}.
• 假设 $C$ 非空。

步骤2：应用良序原理

• 根据良序原理（WOP），$C$ 中存在最小元素 $c$。

步骤3：分析最小反例 $c$

• 由于 $c$ 是 $C$ 的最小元素，等式对于所有 $n<c$ 成立，但对于 $n=c$ 不成立。
• 特别地，$c>0$，因为等式在 $n=0$ 时成立。

步骤4：推导矛盾

• 对于 $n=c-1$，等式成立：
  $$1+2+\cdots +(c-1)=\frac{(c-1)c}{2}.$$
• 将 $c$ 加到等式两边：
  $$1+2+\cdots +(c-1)+c=\frac{(c-1)c}{2}+c=\frac{c(c+1)}{2}.$$
• 这意味着等式对于 $n=c$ 也成立，与 $c\in C$ 矛盾。

步骤5：结论

• 假设 $C$ 非空导致矛盾，因此 $C$ 必须为空集。
• 即等式对所有非负整数 $n$ 成立。

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总结

通过良序原理，我们证明了对于所有非负整数 $n$，以下等式成立：
$$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}.$$
这一证明展示了良序原理在数学证明中的强大作用。