本文涉及知识点
【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例
P2100 凌乱的地下室
题目描述
小Z家的地下室里并排放n个小方块（小Z是一位MC狂热爱好者，喜欢用小方块装饰他家的地下室），并且每个方块都不一样（小Z喜欢各不相同的东西），比如有草方块、大理石、黑曜石等。
小Z喜欢以一种特殊的顺序摆放这些小方块，比如：草方块、大理石、黑曜石。一天，小D帮助小Z整理地下室，可是智商捉急的小D将所有小方块搬出来后忘记了它们原来的具体位置，凭着模糊的印象，他可能把原来放在第i个位置上的小方块放到第（i-1）、i、（i+1）个位置中的任意一个上（当然，第1个不可能放到第0个位置上，第n个不可能放到第（n+1）个位置上），比如（对应上面那个例子）：大理石、草方块、黑曜石。
小Z是一个心胸宽广的人，他希望计算一下小D一共会有几种可能的摆放结果，并不追究小D的责任（追究了只会更乱……）。由于他自己的智商也比较捉急，所以如果答案很大的话他只想看到最后的8位（前导零就不要给他看了）。
输入格式
一行，一个正整数n，代表小Z家的地下室一共有n个小方块。
输出格式
一行，一个正整数，表示小D一共有几种可能的摆放结果，只输出后8位，前导零不输出。
输入输出样例 #1
输入 #1
3
输出 #1
3
输入输出样例 #2
输入 #2
987
输出 #2
223731
说明/提示
【样例解释1】
接着题目中的例子，一共有3种：（草方块，大理石，黑曜石）、（大理石，草方块，黑曜石）、（草方块，黑曜石，大理石）。
【样例解释2】
一共有……00223731种摆放结果，由于前导零不输出，因此输出223731。
【数据规模】
一共有50个测试点。
其中第1~15个：1<n<=10^6
其中第16~25个：106<n<=1016
其中第26~50个：1016<n<=101000
【时空限制】
0.2s/64MB
状态机动态规划+10进制矩阵快速幂
方块编号从1到n改成0到n-1。
dp[i]记录位置[0…i]放置了砖块[0…i]的方案数，有如下两种情况：
一，砖块i放在位置i。dp[i]+= dp[i-1]。
二，砖块i不放在i，一定放在i-1。且砖块i-1一定放在i。即dp[i] += dp[i-2]。
时间复杂度：O(n) n = 101000，远远超时。
用矩阵指数幂。
pre = {dp[i-1],dp[i]} 初始值{1,1}cur = {dp[i],dp[i+1]}。
n等于1，返回1。
prematn,答案是ans[0]。
mat = {{0,1},{1,1}}
时间复杂度：O(Mlongm) m是大整数的位数，大约100。logn大约4000。
可以不转高精度大数，直接10进制。
res = pre。从低位到高位处理：
{t = s[i]-‘0’;
res = resmatt
mat = mat10}
时间复杂度：O(100010)
注意：
本题mod超过3e9，故a b+c* d后，无符号long long 会溢出。
无符号的减法不能a-b,如果结果小于0，在加MOD。必须：a+MOD-b
核心代码
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;scanf("%d", &n);vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行 return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错 }m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};template<class T = long long>
class CMatMul
{
public:CMatMul(T llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}// 矩阵乘法vector<vector<T>> multiply(const vector<vector<T>>& a, const vector<vector<T>>& b) {const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();assert(iK == b.size());vector<vector<T>> ret(r, vector<T>(c));for (int i = 0; i < r; i++){for (int j = 0; j < c; j++){for (int k = 0; k < iK; k++){ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;}}}return ret;}// 矩阵快速幂vector<vector<T>> pow(const vector<vector<T>>& a, vector<vector<T>> b, T n) {vector<vector<T>> res = a;for (; n; n /= 2) {if (n % 2) {res = multiply(res, b);}b = multiply(b, b);}return res;}vector<vector<T>> TotalRow(const vector<vector<T>>& a){vector<vector<T>> b(a.front().size(), vector<T>(1, 1));return multiply(a, b);}
protected:const T m_llMod;
};typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD){}C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {}C1097Int operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int operator-(const C1097Int& o){return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);}C1097Int operator*(const C1097Int& o)const{return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int operator/(const C1097Int& o)const{return *this * o.PowNegative1();}C1097Int& operator/=(const C1097Int& o){*this /= o.PowNegative1();return *this;}bool operator==(const C1097Int& o)const{return m_iData == o.m_iData;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(T2 n)const{C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}T1 ToInt()const{return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;}
private:T1 m_iData = 0;;
};class Solution {
public:int Ans(string str) {vector<vector<long long>> pre = { {1,1} };vector<vector<long long>> mat = { {0,1},{1,1} };CMatMul<> matMul(100'000'000);for (int i = str.length() - 1; i >= 0; i--) {const int t = str[i] - '0';pre = matMul.pow(pre, mat, t);mat = matMul.pow(mat, mat, 9);}return pre[0][0];}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG ios::sync_with_stdio(0);char ch;vector<char> v;while (cin >> ch) {v.emplace_back(ch);}v.emplace_back(0);
#ifdef _DEBUG //printf("T=%lld,", T);//Out(ks, "ks=");//Out(edge, ",edge=");/*Out(edge, "edge=");Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG auto res = Solution().Ans(v.data());cout << res;return 0;
}
单元测试
string str;TEST_METHOD(TestMethod1){auto res = Solution().Ans("1");AssertEx(1, res);}TEST_METHOD(TestMethod2){auto res = Solution().Ans("2");AssertEx(2, res);}TEST_METHOD(TestMethod3){auto res = Solution().Ans("0");AssertEx(1, res);}TEST_METHOD(TestMethod4){auto res = Solution().Ans("3");AssertEx(3, res);}TEST_METHOD(TestMethod5){auto res = Solution().Ans("987");AssertEx(223731, res);}
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https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
