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LSTM（长短期记忆）
参考知乎文章《人人都能看懂的LSTM介绍及反向传播算法推导（非常详细） - 知乎》，部分图片也进行了引用。
参考视频教程《3.结合例子理解LSTM_哔哩哔哩_bilibili》，举的例子还是比较贴切的。不过反向传播的完整推导，非必要不用深入看。
一、相关知识早知道
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————————————————该模型提出的原因是为了解决什么问题的？———————————————
答：为了解决 R N N RNN RNN 的
- 梯度爆炸和梯度消失问题 （尽管激活函数 t a n h tanh tanh 已经在一定程度上缓解了梯度消失和梯度爆炸，但是当连乘次数过多时，依然会有此问题）。
- 长期依赖捕捉困难问题 （ R N N RNN RNN 的隐藏状态仅能保留短期历史信息，难以建模长序列中的复杂依赖）。
- 信息筛选问题 （ R N N RNN RNN 对历史信息是全部接收的，但是无法筛选出历史信息中真正有用的内容，间接导致了前两个问题）。
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————————————为什么 L S T M \pmb{LSTM} LSTM 相较于 R N N \pmb{RNN} RNN 能缓解梯度爆炸和梯度消失？———————————
答：首先梯度存在于反向传播中。 R N N RNN RNN 的前向传播是连乘式结构，这就导致其反向传播也是连乘式结构，在反向传播过程中， R N N RNN RNN 的梯度要么始终大于 1 1 1 ，要么始终小于 1 1 1 ，连乘时便会轻而易举地引起梯度爆炸和梯度消失（是针对较远时间步的梯度来说）。而在 L S T M LSTM LSTM 中，由于其独特的多门结构，可以使得导数值可以在 1 1 1 上下浮动（上一时间步的梯度大于 1 1 1 ，下一时刻的梯度也可能小于 1 1 1 ，连乘时就不至于过大或过小）。并且通过对多个门结构参数的学习，可以实现信息筛选，来决定何时让梯度消失，何时保持梯度（也就是所谓的梯度截断）。
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———————————————————— L S T M \pmb{LSTM} LSTM 的缺点有哪些？———————————————————
答：尽管 L S T M LSTM LSTM 显著优于 R N N RNN RNN ，但仍存在以下问题:
- 计算复杂度高 ：三个门控结构引入更多参数，训练耗时较长。
- 长序列性能衰减 ：处理极长序列（如数万步）时仍可能出现记忆衰退。
- 超参数敏感 ：初始化策略和门控权重需精细调优，否则易导致训练不稳定。
- 参数多，容易造成过拟合。
- 无法并行计算 ：每个时间步需依赖前序结果，影响处理效率（后续的 T r a n s f o r m e r Transformer Transformer 解决了这个问题）。
- 可解释性 一直是个难点，简单来说就是很难完全说清楚为什么内部结构这样设计，内部结构复杂使其决策逻辑难以被直观解释。
二、结构图
对比传统 R N N RNN RNN ， L S T M LSTM LSTM 的突出特点是多了个记忆细胞，能选择性地保留之前和当下的语义信息。
1）整体结构图
L S T M LSTM LSTM 网络中的 σ \sigma σ 就是 s i g m o i d sigmoid sigmoid 函数。它在这里也被叫做 “门单元” ，因为 s i g m o i d sigmoid sigmoid 函数的值为 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1] ，类似阀门，开的口大进的就多，开的口小进的就少。
2）单个时刻结构图
其内部包含四个网络层（其中三个门单元，带 σ \sigma σ 的就是门），分别是：遗忘门、更新门、细胞状态更新层、输出门。
后续符号提示： ⊙ ⊙ ⊙ （向量或矩阵的对应元素相乘）。
令 x t \large x_t xt 尺寸为 m × 1 m×1 m×1 ， h t − 1 \large h_{t-1} ht−1 尺寸为 n × 1 n×1 n×1 ，则 C t − 1 C_{t-1} Ct−1 尺寸为 n × 1 n×1 n×1 。
①遗忘门：
公式：
f t = σ ( W h f ⋅ h t − 1 + W x f ⋅ x t + b f ) = σ ( W f ⋅ [ h t − 1 , x t ] + b f ) \large f_t=\sigma(W_{hf}·h_{t-1}+W_{xf}·x_t+b_f)=\sigma(W_f·[h_{t-1},x_t]+b_f) ft=σ(Whf⋅ht−1+Wxf⋅xt+bf)=σ(Wf⋅[ht−1,xt]+bf)
f t \large f_t ft ：我叫它 “遗忘矩阵” ，由 x t \large x_t xt 和 h t − 1 \large h_{t-1} ht−1 计算而来， σ \large \sigma σ 函数使 f t \large f_t ft 的元素处于 0 ∼ 1 0\sim1 0∼1 ，使其对 C t − 1 \large C_{t-1} Ct−1 具有遗忘功能， 1 1 1 表示 “完全接受”， 0 0 0 表示 “完全忽略”。 f t \large f_t ft 的尺寸和 h t − 1 \large h_{t-1} ht−1 、 C t − 1 \large C_{t-1} Ct−1 一样，同为 n × 1 n×1 n×1 ------------------------则可推出参数 W h f \large W_{hf} Whf 尺寸为 n × n n×n n×n ， W x f \large W_{xf} Wxf 尺寸为 n × m n×m n×m ， b f \large b_{f} bf 尺寸为 n × 1 n×1 n×1 。
②输入门：
公式：
i t = σ ( W h i ⋅ h t − 1 + W x i ⋅ x t + b i ) = σ ( W i ⋅ [ h t − 1 , x t ] + b i ) C t ~ = t a n h ( W h C ⋅ h t − 1 + W x C ⋅ x t + b C ) = t a n h ( W C ⋅ [ h t − 1 , x t ] + b C ) \large i_t=\sigma(W_{hi}·h_{t-1}+W_{xi}·x_t+b_i)=\sigma(W_i·[h_{t-1},x_t]+b_i)\\ \large \tilde{C_t}=tanh(W_{hC}·h_{t-1}+W_{xC}·x_t+b_C)=tanh(W_C·[h_{t-1},x_t]+b_C) it=σ(Whi⋅ht−1+Wxi⋅xt+bi)=σ(Wi⋅[ht−1,xt]+bi)Ct~=tanh(WhC⋅ht−1+WxC⋅xt+bC)=tanh(WC⋅[ht−1,xt]+bC)
这里的 C t ~ \large \tilde{C_t} Ct~ 代表的是此时刻生成的新记忆，只不过是初始版。
这里的 i t \large i_t it ：我叫它 “新记忆筛选矩阵” ， 元素均处于 0 ∼ 1 0\sim1 0∼1 ，使其对 C t ~ \large \tilde{C_t} Ct~ 具有筛选功能， 1 1 1 表示 “完全通过”， 0 0 0 表示 “完全忽略”。
i t \large i_t it 的尺寸为 n × 1 n×1 n×1 ， C t ~ \large \tilde{C_t} Ct~ 的尺寸为 n × 1 n×1 n×1 ------------------------则可推出参数 W h i 、 W h C \large W_{hi}、W_{hC} Whi、WhC 尺寸为 n × n n×n n×n ， W x i 、 W x C \large W_{xi}、W_{xC} Wxi、WxC 尺寸为 n × m n×m n×m ， b i 、 b C \large b_{i}、b_{C} bi、bC 尺寸为 n × 1 n×1 n×1 。
③细胞状态更新
公式：
C t = f t ⊙ C t − 1 + i t ⊙ C t ~ \large C_t=f_t⊙C_{t-1}+i_t⊙\tilde{C_t} Ct=ft⊙Ct−1+it⊙Ct~
这里的 C t \large C_t Ct 便是最终要输出的新记忆。
新记忆由经过遗忘的旧记忆，以及经过筛选的原始新记忆，相加而得到。
C t \large C_t Ct 的尺寸为 n × 1 n×1 n×1 。
④输出门：
公式：
o t = σ ( W h o ⋅ h t − 1 + W x o ⋅ x t + b o ) = σ ( W o ⋅ [ h t − 1 , x t ] + b o ) h t = o t ⊙ t a n h ( C t ) \large o_t=\sigma(W_{ho}·h_{t-1}+W_{xo}·x_t+b_o)=\sigma(W_o·[h_{t-1},x_t]+b_o)\\ \large h_t=o_t⊙tanh(C_t) ot=σ(Who⋅ht−1+Wxo⋅xt+bo)=σ(Wo⋅[ht−1,xt]+bo)ht=ot⊙tanh(Ct)
这里的 h t h_t ht 便是隐层状态输出，由新记忆 C t \large C_t Ct 通过 t a n h tanh tanh 函数调整到 − 1 ∼ 1 -1\sim1 −1∼1 之间，再与 o t o_t ot 逐元素相乘得到。
这里的 o t o_t ot ：我叫它 “隐层状态输出提炼矩阵” ，元素均处于 0 ∼ 1 0\sim1 0∼1 ，使其对 C t \large C_t Ct 具有提炼功能， 1 1 1 表示 “完全通过”， 0 0 0 表示 “完全忽略”。
从 C t \large C_t Ct 中提炼出 h t h_t ht ，是因为细胞状态 C t \large C_t Ct 存储了经过遗忘门和输入门筛选后的所有长期信息（如历史趋势或主题），但并非所有内容都需直接传送给后续网络，通过提炼，仅保留与当前任务相关的部分。并且经过 t a n h tanh tanh 函数压缩之后，可以避免数值爆炸，并增强非线性表达能力。
3）单个时刻公式图
4）补充：
传统 R N N RNN RNN 的同步多对多结构图：
三、损失函数及反向传播
想要深入研究的，就参考知乎那篇文章，以及视频的最后一个分集（可以稍稍看看矩阵求导，对反向传播的计算有帮助）。
只是想用的，知道使用的是链式法则、梯度下降法即可。
