4.3 深度学习中的梯度
在深度学习中，梯度（Gradient）是一个至关重要的概念，它用于指导模型参数的更新过程，以最小化损失函数。梯度是损失函数关于模型参数的偏导数组成的向量（对于多参数情况，则是矩阵或更高维的张量）。通过计算损失函数对参数的梯度，我们可以了解如何调整参数以减少损失，这是通过梯度下降（Gradient Descent）等优化算法实现的。
梯度的基础概念
- 偏导数：对于多变量函数，偏导数表示固定其他变量时，函数关于某一变量的导数。
- 梯度：在向量微积分中，梯度是一个向量场，表示了函数在某一点上沿着各个方向上的偏导数。在深度学习中，我们特别关注损失函数关于模型参数的梯度。
梯度下降算法
梯度下降算法通过迭代地更新模型参数来最小化损失函数。在每次迭代中，算法计算损失函数关于参数的梯度，然后按照梯度的反方向更新参数（因为梯度指向函数增长最快的方向，所以我们希望沿着其反方向即减少最快的方向更新参数）。
代码举例
下面是一个简单的梯度下降算法的Python代码示例，用于最小化一个一元二次函数的值（虽然这不是深度学习的直接应用，但它展示了梯度下降的基本思想）。
import numpy as np# 定义目标函数（一元二次函数）
def f(x):return x**2 - 4*x + 4# 定义目标函数的导数（梯度）
def df(x):return 2*x - 4# 初始化参数
x = 0.0
learning_rate = 0.1 # 学习率
epochs = 10 # 迭代次数# 梯度下降过程
for epoch in range(epochs):grad = df(x) # 计算梯度x = x - learning_rate * grad # 更新参数print(f'Epoch {epoch+1}, x = {x}, f(x) = {f(x)}')# 输出最终结果
print(f'Final x = {x}, f(x) = {f(x)}')
在深度学习中，计算梯度通常涉及复杂的函数和大量的参数，因此手动计算梯度是不切实际的。相反，深度学习框架（如TensorFlow和PyTorch）提供了自动微分（Automatic Differentiation）功能，可以自动计算损失函数关于模型参数的梯度。
对于深度学习模型，梯度下降（或其变体，如随机梯度下降SGD、Adam等）算法用于迭代地更新模型的权重和偏置，以最小化在训练集上的损失函数。这些更新通常通过反向传播算法实现，该算法利用链式法则计算损失函数关于每个参数的梯度。
