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将$GF(p)$延伸为有$p^m$个元素的域，称之为$GF(p)$的扩域，表示为$GF(p^m)$.$GF(p)$是$GF(p^m)$的子集。$GF(p^m)$元素个数为$p^m$。

例如$GF(2)$是$GF(2^m)$的一个子域。在扩域中存在一个特殊元素$a$，其满足$a^{2^m-1}=1$。
这意味着任何幂次超过$2^m-1$都可以被将次小于$2^m-1$。

$GF(2^m)$可以表示为$0,a^1,a^1,...,a^{2^m-2}$

二、本原多项式

一个$m$阶的不可约多项式$f(x)$，如果$f(x)$整除$x^n+1$的最小正整数$n$满足$n=2^m-1$，那么该多项式是本原多项式。

例如对于$f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4$我们需要检查其是否整除$x^i+1,1\le i\le 15$，我们发现他整除$x^5+1$，所以不是本原多项式。

三、定义有限域
比如选择本原多项式$f(x)=1+x+x^3$，多项式幂次为3.对于模2运算，该多项式没有根。(f(0)=1,f(1)=1)。但是代数理论告诉我们该方程有三个根。用扩域元素$a$来定义该根。$p(a)=0$，即$a^3+a+1=0$。

如果$GF(p)$中所有元素可以被$a$的幂次表示，那么称之为本原元。