【数据结构】堆 - 北京网站建设

二叉树的顺序结构

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。

现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，

需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
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堆的概念及结构

如果有一个关键码的集合K = { k₀，k₁ ，k₂ ，…，k_n-1 }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：k_i <=k_2*i+1 且 k_i <=k_2*i+2 ( k_i >=k_2*i+1 且 k_i >=k_2*i+2 ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
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堆的实现

堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。

我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

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//堆向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//while (parent >= 0)while(child > 0){if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}

//堆向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){// 假设法，选出左右孩子中小的那个孩子if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

请注意：
父子存储位置的下标规律：

leftchild=parent*2+1;
rightchild=parent*2+2;
parent=(parent-1)/2;

堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。

根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？
这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

int a[] = {1,5,3,8,7,6};

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void HPInitArray(HP* php, HPDataType* a, int n)
{assert(php);php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);if (php->a == NULL){perror("malloc fail");return;}memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);php->capacity = php->size = n;// 向上调整，建堆 O(N*logN)//for (int i = 1; i < php->size; i++)//{//	AdjustUp(php->a, i);//}// 向下调整，建堆 O(N)for (int i = (php->size-1 - 1)/2; i >= 0; i--){AdjustDown(php->a, php->size, i);}
}

建堆时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：
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堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。
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void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){size_t newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->a = tmp;php->capacity = newCapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size-1);
}

堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据跟最后一个数据交换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

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void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

堆的代码实现

Heap.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
#include<string.h>
#include<time.h>typedef int HPDataType;typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;void HPInit(HP* php);
void HPInitArray(HP* php, HPDataType* a, int n);void HPDestroy(HP* php);
// 插入后保持数据是堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x);
HPDataType HPTop(HP* php);// 删除堆顶的数据
void HPPop(HP* php);bool HPEmpty(HP* php);void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);
void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py);

Heap.c

#include"Heap.h"void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}void HPInitArray(HP* php, HPDataType* a, int n)
{assert(php);php->a = (HPDataType*)malloc(sizeof(HPDataType) * n);if (php->a == NULL){perror("malloc fail");return;}memcpy(php->a, a, sizeof(HPDataType) * n);php->capacity = php->size = n;// 向上调整，建堆 O(N*logN)//for (int i = 1; i < php->size; i++)//{//	AdjustUp(php->a, i);//}// 向下调整，建堆 O(N)for (int i = (php->size-1 - 1)/2; i >= 0; i--){AdjustDown(php->a, php->size, i);}
}void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->capacity = 0;php->size = 0;
}void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py)
{HPDataType tmp = *px;*px = *py;*py = tmp;
}void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//while (parent >= 0)while(child > 0){if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}// 时间复杂度：
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){size_t newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");return;}php->a = tmp;php->capacity = newCapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size-1);
}HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php);return php->a[0];
}void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n){// 假设法，选出左右孩子中小的那个孩子if (child+1 < n && a[child + 1] < a[child]){++child;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}// 时间复杂度：logN
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}