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问题描述：

给定不同面值的硬币和一个目标金额 amount，你需要找到组成该金额所需的最少硬币数。如果无法组成该金额，返回 -1。每种硬币可以使用无限次。

算法步骤：

1. 创建动态规划数组 dp：

   • 定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示组成金额 i 需要的最少硬币数。
   • 初始化 dp 数组，长度为 amount + 1，其中每个元素的初始值为 amount + 1（即一个不可能达到的较大值，表示该金额暂时不可达）。
   • 特殊情况：dp[0] = 0，因为组成金额为 0 时，不需要任何硬币。

2. 动态规划填充 dp 数组：

   • 使用两个嵌套循环，外层循环从 1 遍历到 amount，内层循环遍历每个可用的硬币面值。
   • 对于每一个金额 i 和每一个硬币面值 coin，如果当前硬币面值小于或等于 i，则更新 dp[i] 的值为：

     dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
     

     • dp[i - coin] + 1 的意思是：如果已经知道用最少的硬币组成金额 i - coin，那么再加上一个当前面值的硬币，即可以组成金额 i，因此可以用 dp[i - coin] + 1 这个值来更新 dp[i]。
   • 每次取 dp[i] 的最小值，这样可以确保得到的是最少的硬币数。

3. 返回结果：

   • 最后检查 dp[amount] 的值，如果它仍然是大于 amount 的初始值，说明无法组成该金额，返回 -1；否则返回 dp[amount]，即为最少硬币数。

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(S * n)，其中 S 是目标金额 amount，n 是硬币面值的数量。外层循环遍历每个金额，内层循环遍历每个硬币。
• 空间复杂度：O(S)，因为我们使用了一个大小为 S + 1 的数组 dp 来存储中间结果。

示例分析：

• 示例 1：

  • 输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
  • 输出：3
  • 解释：可以用 5 + 5 + 1，总共使用 3 枚硬币。

• 示例 2：

  • 输入：coins = [2], amount = 3
  • 输出：-1
  • 解释：无法用面值 2 的硬币凑出金额 3。

• 示例 3：

  • 输入：coins = [1], amount = 0
  • 输出：0
  • 解释：不需要任何硬币。

通过动态规划，该算法高效地解决了每个金额对应的最少硬币数，避免了暴力递归带来的重复计算问题。

java 代码

class Solution {public int coinChange(int[] coins, int amount) {int[] dp = new int[amount + 1]; //dp[i] 表示凑成数值为i所需的最少硬币数量Arrays.fill(dp, amount + 1); //不可能达到 amount + 1,因为硬币最小面额是1dp[0] = 0;//更新dp数组for(int i = 1; i <= amount; ++i) {for(int coin : coins) {if(coin <= i) {dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);}}}return dp[amount] < (amount + 1) ? dp[amount] : -1;}
}